Биекция между R и R^n?

[Руст]

Можно проще: возьмём запись действительного числа
$x=a_m 10^m+...+a_0+a_{-1}10^{-1}+a_{-2} 10^{-2}+\dots $. Далее по ним строим n чисел взяв цифры с номерами kn+r, r=0,1,...n-1, k тая цифрая r - го числа (kn+r) цифра исходного числа. Для того, чтобы соблюдалось однозначность договоримся, что рациональные числа записываются не с бесконечным количеством девяток в конце, а переводятся в запись с нулями в конце. При этом биективное отображение получается даже непрерывным в одну сторону.

[Руст]

К сожалению, так не получается биекция, а только непрерывное отображение из R в R^n (так не контролируются запись с окончанием на нули и другая запись с девятками. Для биекции достаточно построить f из R в R^2, а далее это повторять
$ (Id^{n-2},f)(Id^{n-3},f) \dots f.$. При этом f можно построить на базе указанного ранее отображения, отдельно подправив отображение на множестве с плохими образами (окончающимися на одни девятки).

[zkutch]

Уважаемый незванный гость
я тут подумал, что может быть цитирование источника с моей стороны не очень удобно для вас. По вашему желанию я могу выложить где-нибудь в сети страницы содержащие построение и доказательство. Или, если это тоже не очень приемлемый вариант, мы можем начать детальное восстановление доказательства прямо в тексте форума.
Если вы будете так добры и укажете, что вас больше устраивает, я мог бы поступить соответствующе.

Уважаемый Руст
в доказательстве, идею которого я привел, используется теория двоичных дробей, но в принципе смысл происходящего, думаю, вам уловлен верно.

[Руст]

В принципе система исчисления (двоичная или десятичная) не играет роли. Я сразу строю отображение R, не ограничиваясь интервалом (0,1). Проблема разделения в плохих точках всё равно остаётся. Так как таких точек континиум, не удается это сделать стандартным образом, применяемым для счётного множества. Но разделение становится возможным, если представить это множество эквивалентным N*R, N - счётное множество, надо брать как левые (для первой координаты при отображении) так и правыее (по второй координате). Строгое описание этого занимает много места, а идея я думаю понятна.

[незваный гость]

zkutch писал(а):

Уважаемый незванный гость...

Большое спасибо. Вы очень любезны и внимательны. Я согласен с построением, возникающим после поправки Dan_Te. В том виде, который говорили Вы, была дырка, но Dan_Te закрыл мимоходом, потребовав биективности отображения.

Достаточно странно, но биекцию действительно можно построить явно, например, используя двоичное (или десятичное) представление числа. Причем с неожиданными свойствами -- например, точки с рациональными координатами переходят в рациональные, а целые -- в целые. При этом надо, конечно, позаботиться о знаке, но это -- детали.

[zkutch]

приводя только идею доказательства, наверное, невозможно избежать пробелов.Приведенное мной рассуждение имеет интерес, разумеется, только тогда, когда на каждом шаге строится именно явная биекция. И очень интересно и поучительно наблюдать как разные люди по-разному восполняют дыры.

Я позволил себе предложить вашему вниманию упомянутое доказательство по следующим причинам: у меня осталось чувство неудовлетворенности оттого, что казалось бы по такому простому вопросу не было приведено построение. И потому, что мне кажется достаточно красивым стержневое явное построение, согласно которому каждому числу из [0, 1) можно взаимооднозначно поставить в соответствие строго возрастающую последовательность натуральных чисел. Думаю, хорошо иметь в голове и такое видение действительного числа.

[Co_Gito]

For example "Proofs from the Book", 3-rd ed, by Aigner and Ziegler (older edition influenced by Erdos) contains an example of simple bijection between R and R^2 (thus R^n by induction) on page 99. The example is in the proof of the Theorem: The set of R^2 of all ordered pairs of real numbers has the same size as R.

[zkutch]

for Co_Gito

Whether there is in the Internet an opportunity to see the book, specified by you?
Beforehand thanks.

[Co_Gito]

One way would be to use Amazon.com bookstore and the link is:

http://www.amazon.com/gp/product/3540404600/qid=1140677703/sr=2-1/ref=pd_bbs_b_2_1/103-6798886-6511864?s=books&v=glance&n=283155

The book is searchable. Hence, by typing for example "bijection" gives you few pages. Among others, there is a pointer to p 99. This is the fastest way I can offer at this time to see the page, and may other, in question.

Please note, you need to register yourself at amazon.com in order to view the pages. But, of course, it's free

[zkutch]

I am grateful for the given variant, but to me refused in required page owing to "In order to view this page, you must be signed-in to an Amazon.com account that has made a purchase in the past."
But I have not purchases on this site and it is not expected yet
I shall search for other variants

[Co_Gito]

zkutch, I am very sorry for giving the option that did not work

They must have changed the requirement and added "...that has made a purchase in the past." just recently. I'm also going to explore some other possibilities to make it accessible.

[zkutch]

Co_Gito писал(а):

zkutch, I am very sorry for

Please do not worry about it - as usually, instants of kindness change to the periods of greedness

Let's search and if we shall find let's make accessible to everyone

[juna]

Вопрос - существует ли биективное отображение пространства одной размерности в пространство другой размерности, уже давно решен классиками положительно. Я бы не стал писать эти заметки, но вижу участники дискуссии этих классиков подзабыли. Например, Г.Кантор доказал парадоксальный факт, что количество точек на отрезке [0,1] равно количеству точек любого бесконечного пространства любой размерности. Или более конкретно – количество точек квадрата со внутренностью равно количеству точек на стороне этого квадрата. Идея доказательства следующая – достаточно рассмотреть единичный квадрат (т.к. это вопрос масштаба), любая точка внутри квадрата задается в общем виде двумя действительными числами <0,a1a2a3a4…, 0,b1b2b3…> теперь нужно построить число, которое взаимнооднозначно соответствует паре чисел, указанное число строится виде 0.a1b1a2b2a3b3… Указанный принцип легко распространяется на пространства любой размерности. Данное отображение не является непрерывным, невозможность построения непрерывного отображения связана с различием в размерности. Однако если хотите отобразить квадрат на его сторону непрерывно обратитесь к кривым Пеано и соответствующим фрактальным структурам. В завершении даю ссылку, где этот вопрос подробно разбирается: Н.К. Верещагин, А.Шень ч.1 Начала теории множеств
http://www.mccme.ru/free-books/

[Co_Gito]

On the contrary. The book that I cited in the previous message contains none other but classical results. We did not forget classics but rather promote it! Even more, it contains all the most beautiful proofs that mathematicians where able to construct throughout the ages. Many results have multiple proofs stemming from different approaches. It was Erdos's common expression that there must exist a "Book" which contains the simplest and the most beautiful proofs. Thus, the title of the book.

In my opinion, it would be useful to have this book available on line. However, besides Amazon.com and alike, I could not find it anywhere.

[zkutch]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Я бы не стал писать эти заметки, но вижу ...[/url]

вы бы хоть просмотрели выше, что пишут