О добавлении новой аксиомы в ZFC без аксиомы пустого множест

[alex_dorin]

Здравствуйте !
Можно ли без противоречия добавить новую аксиому :
$\forall a \exists b b \in a $
в систему аксиом , полученную из ZFC, удалением аксиомы существования пустого множества ?

[Someone]

Нельзя.

Аксиома существования пустого множества играет роль утверждения "существует хотя бы одно множество".

Пусть существует какое-нибудь множество $A$. Тогда по аксиоме выделения существует множество $B=\{x\in A:\neg x\in A\}$. Докажите сами, что $B=\varnothing$.

[alex_dorin]

Аксиома подстановки в $ZFC$ :
$ \forall \bar{z}\forall u(\forall x(x \in u \Rightarrow \exists !y P(x,y,\bar{z})) \Rightarrow \exists w \forall y(y \in w \Leftrightarrow \exists x(x \in u \& P(x,y,\bar{z})))) $
Someone : Как выглядит предикат $P$ для приведенной Вами аксиомы подстановки ?

[kp9r4d]

alex_dorin
Нужна аксиома выделения, а не подстановки.

[alex_dorin]

kp9r4d : аксиома подстановки сильнее аксиомы выделения,

[arseniiv]

alex_dorin, знаете, даже непонятно, что на это отвечать, и стоит ли вообще. Возьмите уже аксиому выделения с предикатом $x\notin A$, явно видимым в

Someone в сообщении #1131178 писал(а):

$B=\{x\in A:\neg x\in A\}$

Если вы рассуждаете о том, какая из аксиом сильнее другой, то вы, наверняка, можете самостоятельно сформулировать нужный вам предикат для аксиомы подстановки на основании того, что в этой теме уже писали (можно сделать это даже на пустом месте).