Замкнутость множества

[Stasya7]

Есть множество $M=(x: x(t)\geqslant 0 \forall t\in [0,1]) \subset C[0,1]$
Я хочу показать замкнутость этого множества, исходя из замкнутости его образа при непрерывном на всём пространстве отображении. Для этого можно было бы представить $M$ как $\bigcap\limits_{t\in[0,1]} M_t$, где $M_t = (x: x(t)\geqslant 0)$. Можно ли так сделать, то есть представить множество как пересечение континуум подмножеств? Для счетного числа точно можно было бы так сделать.
Тогда можно было бы сказать, что $M$ замкнуто как пересечение (континуального числа) замкнутых множеств.

[Otta]

Stasya7

Stasya7 в сообщении #1131309 писал(а):

исходя из замкнутости его образа при непрерывном на всём пространстве отображении.

Этого Вам никто не обещал.

А определение Вам запрещают использовать какие соображения?

[Stasya7]

Otta в сообщении #1131313 писал(а):

Stasya7

Stasya7 в сообщении #1131309 писал(а):

исходя из замкнутости его образа при непрерывном на всём пространстве отображении.

Этого Вам никто не обещал.

Почему? При непрерывном отображении прообраз замкнутого множества замкнут.

Otta в сообщении #1131313 писал(а):

А определение Вам запрещают использовать какие соображения?

Какое определение?

[Otta]

Прообраз - да.
Определение замкнутости, вестимо. Впрочем, они разные бывают. Может, у Вас это лемма какая-то была.
Через последовательности.

[Stasya7]

Otta в сообщении #1131318 писал(а):

Определение замкнутости, вестимо. Впрочем, они разные бывают. Может, у Вас это лемма какая-то была.
Через последовательности.

Не, ну можно, конечно, и по определению.
Я так и не поняла. Допустимо ли представлять подобным образом множество $M$?

[Otta]

Допустимо. Дальше что будете делать?

[Stasya7]

Otta в сообщении #1131323 писал(а):

Дальше что будете делать?

Для каждого $t$ строится непрерывный на $C[0,1]$ функционал $f_t(x) = x(t)$. $f_t(M_t)$ - замкнуто в \mathbb{R}$ $=> M_t $ - замкнуто в C$. $M$ - замкнуто как пересечение замкнутых множеств

[DeBill]

Otta в сообщении #1131323 писал(а):

Допустимо. Дальше что будете делать?

А дальше - видимо, надо еще в стартовом сообщении ТС исправить ошибку (заменить слово "образ" на "прообраз") - и все дела...

-- 13.06.2016, 20:27 --

Stasya7 в сообщении #1131327 писал(а):

ал $f_t(x) = x(t)$. $f_t(M_t)$ - замкнуто в \mathbb{R}$ $=> M_t $ - замкнуто в

(Оффтоп)

Ой не все... Не хочет исправлять ошибку... Упорная, однако...

[Otta]

Ага, и заодно придумать, причем тут вообще отображение. По-моему, ТС под этим подразумевает что-то глубоко свое. Я даже догадываюсь, что, и мне мои догадки очень не нравятся.

[Stasya7]

DeBill в сообщении #1131329 писал(а):

А дальше - видимо, надо еще в стартовом сообщении ТС исправить ошибку (заменить слово "образ" на "прообраз") - и все дела...

Ну имелось в виду, из того, что образ $M_t$ замкнут, следует его замкнутость. Где здесь опечатка?

[Otta]

Stasya7 в сообщении #1131337 писал(а):

Ну имелось в виду, из того, что образ $M_t$ замкнут, следует его замкнутость.

А почему замкнут? Эта задача ничем не лучше исходной.
(опять образ какой-то. Какой? чего? при каком отображении?)

[DeBill]

Дорогая Stasya7, у нас какие-то непонятке на пустом месте...
Фишка в том, что образ незамкнутого запросто может быть замкнутым. так что Вы пользуетесь здесь неверным утверждением. К счастью, оно Вам и не нужно, потому что Ваше $M_t$ есть ПРООБРАЗ замкнутого (а именно, луча)

[Stasya7]

DeBill в сообщении #1131344 писал(а):

Дорогая Stasya7, у нас какие-то непонятке на пустом месте...
Фишка в том, что образ незамкнутого запросто может быть замкнутым. так что Вы пользуетесь здесь неверным утверждением. К счастью, оно Вам и не нужно, потому что Ваше $M_t$ есть ПРООБРАЗ замкнутого (а именно, луча)

Хорошо, $M_t$ - замкнуто, как прообраз замкнутого множества.