Добрый вечер!
Среди стандартных задач по вариационному исчислению встречаются случаи, в которых подынтегральное выражение легко представить в виде

, где функция

монотонна. Например, в простой задаче

можно считать, что

, а

. Мне казалось естественным, что экстремали функционалов с лагранжианами

и

должны совпадать. В приведённом выше примере экстремали действительно совпадают с экстремалями функционала

. Однако нетрудно убедиться, что это не всегда так. Уравнение Лагранжа для функционала с лагранжианом

имеет вид
Ясно, что оно переходит в уравнение Лагранжа для

, если первый член равенства обращается в ноль. Но неужели этим и ограничиваются случаи совпадения множества экстремалей?
Я попытался получить условие для того, чтобы они совпадали, но... Проще говоря, вот моя попытка.
Как при выводе уравнения Лагранжа, рассмотрим функционал

на функции

как функцию

и приравняем нулю её производную по

в точке

.
По второй теореме о среднем найдётся такая точка
![$\xi \in [a, \, b]$ $\xi \in [a, \, b]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/9/5f9ea721eccc2cce720777381e59838082.png)
, что последний интеграл равен
Таким образом если

, то уравнения Лагранжа для функционала с лагранжианом

совпадают с уравнениями для функционала с лагранжианом

. Однако, это не очень-то удобное условие.
Кроме того, я пытался в уравнении
заменить функцию

на

так, чтобы уравнение относительно новой функции

приняло привычный вид
Но и из этого не вышло хорошего условия.
Итак, мой вопрос таков: при каких условиях на

и

множества экстремалей у следующих функционалов
совпадают?
P.S. А при каких условиях множество экстремалей для

будет подмножеством множества экстремалей для

?