Системы счисления

[karandash_oleg]

1) Сколько существует чисел в 14-ричной системе исчисления, которые имеют 3 значащие цифры и среди них есть различные?

Сначала, как я понимаю, нужно представить число в виде

$x = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k 14^k$, где $a_k$ — это целые числа, называемые ''цифрами'', удовлетворяющие неравенству $0 \leq a_k \leq 13$

Нам нужно, чтобы среди чисел $a_1,a_2,a_3$ нашлись хотя бы 2 различные.

Количество вариантов для первых трех цифр $13^3$.

Количество чисел, где первые три цифры одинаковые $13$.

Таким образом, количество чисел, где хотя бы 2 цифры совпадают $13^3-13=13\cdot 168$. Верно ли?

2) Сколько существует трехзначных чисел в 14-ричной системе счисления, таких что $a_1-a_3=a_2$.

Ясно, что $0 \leq a_k \leq 13$

$a_2=a_1-a_3$

Ясно, что $a_1\ge a_3$. Мне кажется, что нарисовав квадрат со стороной 13, мы получим количество вариантов, нас интересуют клетки квадрата над диагональю и на самой диагонали, количество которых можно посчитать так $13+12+11+..+1=12\cdot 13=156$

Правильно ли?

[ewert]

karandash_oleg в сообщении #1130792 писал(а):

Количество вариантов для первых трех цифр $13^3$.

Чуть-чуть не совсем.

[karandash_oleg]

ewert в сообщении #1130795 писал(а):

karandash_oleg в сообщении #1130792 писал(а):

Количество вариантов для первых трех цифр $13^3$.

Чуть-чуть не совсем.

Имеется ввиду, что первая цифра не может быть нулем. Или может?

-- 11.06.2016, 16:36 --

Аааа, кажется понял, должно быть так:

Количество вариантов для первых трех цифр $14^3$.

Количество чисел, где первые три цифры одинаковые $14$.

Таким образом, количество чисел, где хотя бы 2 цифры совпадают $14^3-14=14\cdot 195$. Верно ли?

-- 11.06.2016, 16:38 --

Вторую задачу тоже исправляю:

2) Сколько существует трехзначных чисел в 14-ричной системе счисления, таких что $a_1-a_3=a_2$.

Ясно, что $0 \leq a_k \leq 13$

$a_2=a_1-a_3$

Ясно, что $a_1\ge a_3$. Мне кажется, что нарисовав квадрат со стороной 13, мы получим количество вариантов, нас интересуют клетки квадрата над диагональю и на самой диагонали, количество которых можно посчитать так $14+13+12+11+..+1=7\cdot 15=105$

Правильно ли?

[karandash_oleg]

(Оффтоп)

Пока что перебираю варианты :
1) Я написал полную чушь или как-то очень криво свои мысли сформулировал
2) Все написано верно, потому комментировать нечего
3) Долго объяснять
4) Неинтересные задачи

[Dmitriy40]

Чтобы число было трёхзначным, нужно чтобы первая цифра была не 0, остальные любые. Значит общее число трёхзначных чисел $13 \cdot 14 \cdot 14$.

[karandash_oleg]

Спасибо, тогда в 1 задаче будет $13 \cdot 14 \cdot 14-13$.

А значащие цифры это сыграло роль в том, что там будет не ноль, правильно ли понял?

Во второй задаче получается, что $a_1>a_3$, потому вариантов $13+12+11+...+1$.

Правильно ли я понял?

[PWT]

неверно

[ewert]

PWT в сообщении #1130999 писал(а):

неверно

karandash_oleg в сообщении #1130870 писал(а):

$a_1>a_3$

[karandash_oleg]

То есть вторая цифра может быть нулем, точно.

Cпасибо, тогда в 2 задаче будет $13+13+12+11+10+9+8+...+2+1$

Теперь правильно ли?

[ewert]

Неверно в самом начале и в самом конце.

[Dmitriy40]

karandash_oleg
По второй задаче.
Условие трёхзначности числа накладывает ограничение $a_1 > 0$. Таких всего: $a_1=1..13$.
Условие $a_1-a_3=a_2$ эквивалентно условию $a_1 \geqslant a_3$.
Ну а теперь считайте: для $a_1=1$ сколько разных $a_3$ допустимо? А для $a_1=2$? А для всех остальных $a_1=3..13$? Суммируйте и получайте ответ.

[karandash_oleg]

Спасибо. А с первой задачей все ок?

Для $a_1=1$ будет два варианта, для $a_1=2$ три варианта,.... для $a_1=13$ будет $14$ вариантов.

Итого: $2+3+4+...+14$. Теперь верно?

[ewert]

Теперь да.

[Dmitriy40]

karandash_oleg в сообщении #1130870 писал(а):

в 1 задаче будет $13 \cdot 14 \cdot 14-13$.

Да.

karandash_oleg в сообщении #1131014 писал(а):

Итого: $2+3+4+...+14$. Теперь верно?

Тоже да.

[VAL]

Во второй задаче можно рассуждать так:
Рассмотрим все сочетания с повторениями из 14 по 2. Их будет $15\choose2$.
В каждом из сочетаний, кроме случая двух нулей, максимальных элемент сделаем первой цифрой, а оставшийся - третьей. Второй же цифрой будет их разность.
Ответ, разумеется, будет тот же.