2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Системы счисления
Сообщение11.06.2016, 15:53 


04/06/13
203
1) Сколько существует чисел в 14-ричной системе исчисления, которые имеют 3 значащие цифры и среди них есть различные?

Сначала, как я понимаю, нужно представить число в виде

$x = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k 14^k$, где $a_k$ — это целые числа, называемые ''цифрами'', удовлетворяющие неравенству $0 \leq a_k \leq 13$

Нам нужно, чтобы среди чисел $a_1,a_2,a_3$ нашлись хотя бы 2 различные.

Количество вариантов для первых трех цифр $13^3$.

Количество чисел, где первые три цифры одинаковые $13$.

Таким образом, количество чисел, где хотя бы 2 цифры совпадают $13^3-13=13\cdot 168$. Верно ли?

2) Сколько существует трехзначных чисел в 14-ричной системе счисления, таких что $a_1-a_3=a_2$.

Ясно, что $0 \leq a_k \leq 13$

$a_2=a_1-a_3$

Ясно, что $a_1\ge a_3$. Мне кажется, что нарисовав квадрат со стороной 13, мы получим количество вариантов, нас интересуют клетки квадрата над диагональю и на самой диагонали, количество которых можно посчитать так $13+12+11+..+1=12\cdot 13=156$

Правильно ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение11.06.2016, 16:01 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
karandash_oleg в сообщении #1130792 писал(а):
Количество вариантов для первых трех цифр $13^3$.

Чуть-чуть не совсем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение11.06.2016, 16:10 


04/06/13
203
ewert в сообщении #1130795 писал(а):
karandash_oleg в сообщении #1130792 писал(а):
Количество вариантов для первых трех цифр $13^3$.

Чуть-чуть не совсем.

Имеется ввиду, что первая цифра не может быть нулем. Или может?

-- 11.06.2016, 16:36 --

Аааа, кажется понял, должно быть так:

Количество вариантов для первых трех цифр $14^3$.

Количество чисел, где первые три цифры одинаковые $14$.

Таким образом, количество чисел, где хотя бы 2 цифры совпадают $14^3-14=14\cdot 195$. Верно ли?

-- 11.06.2016, 16:38 --

Вторую задачу тоже исправляю:

2) Сколько существует трехзначных чисел в 14-ричной системе счисления, таких что $a_1-a_3=a_2$.

Ясно, что $0 \leq a_k \leq 13$

$a_2=a_1-a_3$

Ясно, что $a_1\ge a_3$. Мне кажется, что нарисовав квадрат со стороной 13, мы получим количество вариантов, нас интересуют клетки квадрата над диагональю и на самой диагонали, количество которых можно посчитать так $14+13+12+11+..+1=7\cdot 15=105$

Правильно ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение11.06.2016, 18:49 


04/06/13
203

(Оффтоп)

Пока что перебираю варианты :D :
1) Я написал полную чушь или как-то очень криво свои мысли сформулировал
2) Все написано верно, потому комментировать нечего
3) Долго объяснять
4) Неинтересные задачи

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение11.06.2016, 19:31 
Заслуженный участник


20/08/14
11670
Россия, Москва
Чтобы число было трёхзначным, нужно чтобы первая цифра была не 0, остальные любые. Значит общее число трёхзначных чисел $13 \cdot 14 \cdot 14$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение11.06.2016, 20:09 


04/06/13
203
Спасибо, тогда в 1 задаче будет $13 \cdot 14 \cdot 14-13$.

А значащие цифры это сыграло роль в том, что там будет не ноль, правильно ли понял?

Во второй задаче получается, что $a_1>a_3$, потому вариантов $13+12+11+...+1$.

Правильно ли я понял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение12.06.2016, 15:29 


11/06/16
191
неверно

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение12.06.2016, 15:41 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
PWT в сообщении #1130999 писал(а):
неверно
karandash_oleg в сообщении #1130870 писал(а):
$a_1>a_3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение12.06.2016, 15:58 


04/06/13
203
То есть вторая цифра может быть нулем, точно.

Cпасибо, тогда в 2 задаче будет $13+13+12+11+10+9+8+...+2+1$

Теперь правильно ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение12.06.2016, 16:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Неверно в самом начале и в самом конце.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение12.06.2016, 16:30 
Заслуженный участник


20/08/14
11670
Россия, Москва
karandash_oleg
По второй задаче.
Условие трёхзначности числа накладывает ограничение $a_1 > 0$. Таких всего: $a_1=1..13$.
Условие $a_1-a_3=a_2$ эквивалентно условию $a_1 \geqslant a_3$.
Ну а теперь считайте: для $a_1=1$ сколько разных $a_3$ допустимо? А для $a_1=2$? А для всех остальных $a_1=3..13$? Суммируйте и получайте ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение12.06.2016, 16:51 


04/06/13
203
Спасибо. А с первой задачей все ок?

Для $a_1=1$ будет два варианта, для $a_1=2$ три варианта,.... для $a_1=13$ будет $14$ вариантов.

Итого: $2+3+4+...+14$. Теперь верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение12.06.2016, 16:58 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Теперь да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение12.06.2016, 17:00 
Заслуженный участник


20/08/14
11670
Россия, Москва
karandash_oleg в сообщении #1130870 писал(а):
в 1 задаче будет $13 \cdot 14 \cdot 14-13$.
Да.
karandash_oleg в сообщении #1131014 писал(а):
Итого: $2+3+4+...+14$. Теперь верно?
Тоже да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение13.06.2016, 07:37 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
Во второй задаче можно рассуждать так:
Рассмотрим все сочетания с повторениями из 14 по 2. Их будет $15\choose2$.
В каждом из сочетаний, кроме случая двух нулей, максимальных элемент сделаем первой цифрой, а оставшийся - третьей. Второй же цифрой будет их разность.
Ответ, разумеется, будет тот же.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group