НОД суммы цифр и числа делителей

[Ktina]

Если для каждого натурального числа вычислить НОД суммы его десятичных цифр и числа его делителей, получится следующая последовательность:

1 2 1 1 1 2 1 4 3 1 2 ...

, которой, кстати, нет в OEIS. Вернее, пока нет.

Верно ли, что в вышеописанной последовательности встретятся все натуральные числа?

[Dmitriy40]

Если и встретятся, то некоторые очень не близко. Пара примеров: $f(n=1600)=7$, $f(n=89088)=11$, $f(n=12124160)=17$, $f(n=650117120)=23$.

[mihiv]

Пусть $n$- произвольное натуральное число. Рассмотрим число, в десятичной записи которого сначала идет $n$ единиц, а затем $n-1$ нулей. Сумма цифр этого числа равна $n$. Показатель степени, с которым в его разложение на простые множители входит 2, равен $n-1$, следовательно, число его делителей делится на $n-1+1=n$, поэтому НОД=$n$.

[Ktina]

mihiv
Спасибо!

[Dmitriy40]

mihiv
И от меня тоже спасибо! Думал как задать такое число в зависимости от $n$, но ничего так и не придумал.