Физический смысл нормировки волновой функции

[dsdante]

Допустим, электрон (волна) падает на маску с щелью, и ему повезло пролететь через эту щель без взаимодействия. Что происходит со остальными состояниями, соответствующими взаимодействию, почему они выпадают из суперпозиции? Можно ли назвать это коллапсом волны, только не вследствие взаимодействия, а вследствие его отсутствия?

По какой причине вероятность обнаружения электрона в щели резко увеличивается? Есть ли более глубокий физический смысл нормировки, чем просто "оно так работает"?

[madschumacher]

Не совсем понял при чем тут нормировка при пролетании через щель. Но нормировка волновой функции в нулевом приближении нужна только для одного: чтобы вероятности не превышали 1 (ну и соответственно, чтобы Ваши физические величины можно было высчитывать как $A=\langle \psi, \hat{A} \psi \rangle$).

[arseniiv]

dsdante в сообщении #1130607 писал(а):

По какой причине вероятность обнаружения электрона в щели резко увеличивается?

Мы просто не рассматриваем случаи, когда электрон не пролез через щель и улетел куда-то совсем не туда.

[dsdante]

madschumacher в сообщении #1130613 писал(а):

нормировка волновой функции в нулевом приближении нужна только для одного: чтобы вероятности не превышали 1 (ну и соответственно, чтобы Ваши физические величины можно было высчитывать как $A=\langle \psi, \hat{A} \psi \rangle$).

Имхо, это логика ученика, подгоняющего решение под ответ. :) Природа вряд ли заботится о наших рассчётах.

arseniiv в сообщении #1130615 писал(а):

Мы просто не рассматриваем случаи, когда электрон не пролез через щель и улетел куда-то совсем не туда.

Мы не можем произвольно игнорировать некоторые случаи. Возьмём интерференцию электронов на двух щелях.



Если мы будем рассматривать только случай пролёта через верхнюю щель, то вокруг точки 2 должно падать много электронов, но это не так из-за интерференции с нижней частью волны.

[arseniiv]

Вот давайте без демагогии. Я не предлагал произвольно игнорировать некоторые случаи. Я предложил «игнорировать» вполне определённый случай — электрон не пролетел ни через одну щель, т. е. его волновая функция между щелями и экраном за всё время проведения опыта так и не имела достаточно ненулевых значений.

-- Пт июн 10, 2016 22:01:48 --

dsdante в сообщении #1130633 писал(а):

Имхо, это логика ученика, подгоняющего решение под ответ. :) Природа вряд ли заботится о наших рассчётах.

Можно не нормировать ничего, но и считать надо будет чуть сложнее. (Можно и римскими цифрами пользоваться, если хочется. ) Раз умножение вектора состояния на ненулевое число ничего не меняет, можно считать представлением состояния не вектор, а элемент соответствующего проективного пространства. Но считать-то в итоге придётся с векторами (да и вместо тех — компоненты, которые сами являются комплексными числами и сводятся на текущей аппаратуре (а в человеческих манипуляциях — и подавно) к операциям с вещественными числами).

[Cos(x-pi/2)]

dsdante в сообщении #1130607 писал(а):

Допустим, электрон (волна) падает на маску с щелью, и ему повезло пролететь через эту щель без взаимодействия. Что происходит со остальными состояниями, соответствующими взаимодействию, почему они выпадают из суперпозиции?

Электрон ни в каких опытах никогда не обнаруживался как волна; ведь под волной подразумевается нечто протяжённое в пространстве, так что волну можно обнаруживать сразу несколькими детекторами, но один электрон всегда обнаруживается детектором как одна маленькая частица (и то же самое можно сказать о других частицах). Опыт с щелями описывается как задача об упругом рассеянии частиц.

В задаче о рассеянии задаётся начальное состояние частицы, обычно это состояние с определённым вектором импульса $\vec{p}$ (при этом энергия частицы с известной массой тоже будет известна). И предполагается, что частица может за счёт взаимодействия с рассеивателем (это экран c щелями, например) рассеяться с той или иной вероятностью в любую сторону, т.е. она может быть обнаружена вдали от рассеивателя детектором, расположенным в телесном угле $d\Omega_{\vec{p}\, '}$ c углами $(\theta, \, \varphi )$ к начальному направлению $\vec{p},$ характеризующими импульс $\vec{p}\,'$ рассеянной частицы. В частности, частица может с большой вероятностью отразиться назад.

Если частица пролетела вперёд (попала в детектор с $\theta=0),$ то это не означает, что взаимодействия с экраном не было, а означает, что произошло рассеяние вперёд.

Для теоретического же предсказания статистики актов рассеяния, т.е. для расчёта распределения вероятности рассеяния на всевозможные углы мы пользуемся в квантовой теории волновой функцией частицы - волновая функция не наблюдается в акте рассеяния частицы, а вычисляется из уравнения Шрёдингера, и по ней далее вычисляется угловая зависимость сечения рассеяния.

Волновая функция оказывается состоящей из слагаемых, которые зависят от координат таким образом, что их удобно называть (интерпретировать) как "падающая волна", "волна, рассеянная одной щелью", "волна, рассеянная другой щелью". Вот эти слагаемые и интерферируют друг с другом, т.е. они складываются с учётом их взаимных разностей фаз.

Это не означает, что частица состоит из слагаемых, которые в акте рассеяния "выпадают из суперпозиции". Частица просто обнаруживается в каком-нибудь детекторе, например, - в какой-то точке на регистрирующем экране (причём регистрирующий экран может находиться не только впереди, но и позади щелей, чтобы мы могли регистрировать и акты рассеяния назад). В опыте мы имеем дело не с волновой функцией, а с частицами. Суперпозиция же имеется в выражении для волновой функции; при теоретическом расчёте распределения вероятностей никакие слагаемые из суперпозиции не "выпадают", а наоборот - они присутствуют и придают распределению вероятностей интерференционный характер.

"Нормировка" означает, что суммарная вероятность рассеяться в любые стороны, включая рассеяние вперёд и назад, равна единице (если, конечно, не происходит поглощения частиц в рассеивателе).

Если же говорить о природе, то пока, насколько знаю, нет ответа на вопрос - "почему для расчёта вероятностей событий мы вынуждены пользоваться формализмом квантовой теории - волновыми функциями, или векторами состояний, операторами и т. п"; это остаётся загадкой природы.

[Munin]

(Оффтоп)

Cos(x-pi/2) в сообщении #1130650 писал(а):

Электрон ни в каких опытах никогда не обнаруживался как волна; ведь под волной подразумевается нечто протяжённое в пространстве, так что волну можно обнаруживать сразу несколькими детекторами, но один электрон всегда обнаруживается детектором как одна маленькая частица (и то же самое можно сказать о других частицах).

Тут надо уточнить: это всё верно для детекторов, измеряющих пространственное положение электрона. Но есть и другие, которые измеряют, например, импульс. Это, конечно, непозитивистично, но собственными состояниями таких детекторов являются как раз весьма протяжённые волновые пакеты.

[dsdante]

arseniiv в сообщении #1130638 писал(а):

Я не предлагал произвольно игнорировать некоторые случаи. Я предложил «игнорировать» вполне определённый случай — электрон не пролетел ни через одну щель, т. е. его волновая функция между щелями и экраном за всё время проведения опыта так и не имела достаточно ненулевых значений.

Хорошо. Поставим в одну из щелей простой магнит, который будет передавать пролетающим мимо электронам виртуальный фотон, отклоняя их на пренебрежимо малую величину, но вызывая декогеренцию. Через вторую щель электроны по-прежнему летают свободно. Оба состояния имеют ненулевые значения на экране, но интерференционной картины уже не будет, и мы можем рассматривать их независимо друг от друга. Почему во втором опыте мы можем игнорировать щель, а в первом - нет? Почему при пролёте через "свободную" (без магнита) щель во втором опыте другое состояние отсекается от суперпозиции, а в первом опыте - нет?

arseniiv в сообщении #1130638 писал(а):

Можно не нормировать ничего, но и считать надо будет чуть сложнее. (Можно и римскими цифрами пользоваться, если хочется. ) Раз умножение вектора состояния на ненулевое число ничего не меняет, можно считать представлением состояния не вектор, а элемент соответствующего проективного пространства. Но считать-то в итоге придётся с векторами (да и вместо тех — компоненты, которые сами являются комплексными числами и сводятся на текущей аппаратуре (а в человеческих манипуляциях — и подавно) к операциям с вещественными числами).

С математикой я плохо знаком, поэтому заранее прошу прощения за глупые вопросы. Вектор состояния - это массив скалярных величин, описывающих состояние частицы (координаты, импульс, спин, и т. д.), так? Почему умножение этого вектора на ненулевое число ничего не меняет?

Где можно почитать про расчёт сложным способом, без нормировки?

Cos(x-pi/2) в сообщении #1130650 писал(а):

предполагается, что частица может за счёт взаимодействия с рассеивателем (это экран c щелями, например) рассеяться

В моём вопросе мне кажется принципиальным, что прохождение через маску - это не взаимодействие. Нет обмена импульсом, информацией и т. д. В предыдущем примере малейшее взаимодействие с магнитом (и даже просто "угроза взаимодействия") радикально меняет картину. Упругое рассеяние может быть хорошей моделью для некоторых экспериментов, но оно не отражает все квантовые свойства материи.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1130650 писал(а):

частица может с большой вероятностью отразиться назад.

Допустим, оси X и Y - это плоскость маски или экрана, а ось Z - направление пучка электронов. Насколько я понимаю принцип неопределённости, щелью маски мы ограничиваем координаты X и Y электрона, внося неопределённость импульсов p_x и p_y, при этом Z никак не трогаем, то есть электрон не может отразиться назад.

[madschumacher]

dsdante в сообщении #1130633 писал(а):

Имхо, это логика ученика, подгоняющего решение под ответ. :) Природа вряд ли заботится о наших рассчётах.

Волновые функции (т.о. формализм Шрёдингера) не единственный способ описывать квантовое поведение.
К тому же, как сказал arseniiv можно и не нормировать, но тогда станет чуть сложнее работать.

[Munin]

dsdante в сообщении #1130664 писал(а):

Вектор состояния - это массив скалярных величин, описывающих состояние частицы (координату, импульс, спин, и т. д.), так?

Нет. Вектор состояния - это массив скалярных величин, описывающих вероятности найти частицу в разных базисных состояниях. Можно взять другой набор базисных состояний, и получится другой массив, однако в некотором абстрактном пространстве это будет один и тот же вектор - только как будто бы в другой системе координат.

Поскольку сумма всех вероятностей найти частицу - всегда равна 1 (частица одна, и в каком-то состоянии она рано или поздно будет найдена), то вектор состояния принято нормировать на единицу. С другой стороны, можно пользоваться ненормированным вектором, поскольку физически имеет смысл только соотношение величин в массиве, а оно при умножении всего вектора на константу - не меняется.

dsdante в сообщении #1130664 писал(а):

Где можно почитать про расчёт сложным способом, без нормировки?

Он не сложный, он такой же. Вопрос исключительно в том, нормировать ли в начале расчёта, или в самом конце.

-- 10.06.2016 21:52:45 --

madschumacher в сообщении #1130668 писал(а):

Волновые функции (т.о. формализм Шрёдингера) не единственный способ описывать квантовое поведение.

Ну, лучше сказать, что все эти способы между собой эквивалентны.

[madschumacher]

Munin в сообщении #1130669 писал(а):

Ну, лучше сказать, что все эти способы между собой эквивалентны.

Я думал, что это очевидно.

[Munin]

dsdante в сообщении #1130664 писал(а):

В моём вопросе мне кажется принципиальным, что прохождение через маску - это не взаимодействие. Нет обмена импульсом, информацией и т. д.

А что, вы наивно считаете, что если частица отобьётся маской, то не передаст маске ни импульса, ни информации о столкновении?

-- 10.06.2016 21:55:21 --

madschumacher в сообщении #1130670 писал(а):

Я думал, что это очевидно. :-)

Новичкам - часто нет :-)

[Cos(x-pi/2)]

dsdante

Квантовая механика - очень непростая наука; поэтому не ожидайте получить исчерпывающих ответов на форумах, а обратитесь к вдумчивому изучению серьёзных учебников (и морально приготовьтесь к тому, что это долгий и трудный процесс).

Пока же у Вас встречаются ошибочные предположения. Волновая функция определяется сразу всей пространственной картиной - потенциалом во всём пространстве, а не соображениями типа "частица пролетела в щель, а значит ни с чем не взаимодействовала". Магнит не разрушит интерференцию, а только изменит положение максимумов и минимумов на регистрирующем экране (в квантовой механике есть "эффект Ааронова - Бома"; там как раз идёт речь о влиянии магнитного поля на волновую функцию и, в результате, на сдвиг интерференционной картины). В общем, изучайте литературу, и не поверхностно, тогда только непонятки потихоньку начнут рассасываться...

-- 10.06.2016, 22:17 --

dsdante в сообщении #1130664 писал(а):

Допустим, оси X и Y - это плоскость маски или экрана, а ось Z - направление пучка электронов. Насколько я понимаю принцип неопределённости, щелью маски мы ограничиваем координаты X и Y электрона, внося неопределённость импульсов p_x и p_y, при этом Z никак не трогаем, то есть электрон не может отразиться назад.

Экран это потенциальный барьер, на нём происходит отражение.

[arseniiv]

dsdante в сообщении #1130664 писал(а):

Почему при пролёте через "свободную" (без магнита) щель во втором опыте другое состояние отсекается от суперпозиции, а в первом опыте - нет?

Ну, вообще-то, что там будет, зависит от точного устройства установки. «Поставили магнит» не очень похоже на детальное описание, так что не думаю, что кто-то ответит, что в ней будет происходить и будет ли это можно назвать «отсеканием от суперпозиции».

[dsdante]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1130679 писал(а):

не ожидайте получить исчерпывающих ответов на форумах, а обратитесь к вдумчивому изучению серьёзных учебников

Я сейчас читаю последний том Фейнмана, но некоторые вопросы так сильно жгут мою душу, что я не могу ждать далёкого и неопределённого будущего. :)

Cos(x-pi/2) в сообщении #1130679 писал(а):

Магнит не разрушит интерференцию, а только изменит положение максимумов и минимумов на регистрирующем экране

Вследствие закона сохранения импульса любое воздействие взаимно, а значит магнит можно использовать как детектор электронов. Если внешний наблюдатель знает, что электрон пролетел через первую щель, то второго состояния уже точно нет, и оно не должно вносить изменения в картину на экране. Туннелированием сквозь вещество маски и т. п. я пренебрегаю.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1130679 писал(а):

в квантовой механике есть "эффект Ааронова - Бома"; там как раз идёт речь о влиянии магнитного поля на волновую функцию и, в результате, на сдвиг интерференционной картины

Спасибо за наводку, моё представление об электромагнитных волнах сильно усложнилось. :) Но в эксперименте речь идёт о когерентных пучках электронов, то есть, как я понял, разные электроны интерферировали между собой, а коллапс волн такой роли не играл.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1130679 писал(а):

Экран это потенциальный барьер, на нём происходит отражение.

А если это положительно заряженная металлическая пластина или толстый кусок рассеивающего кристалла? В любом случае, меня интересуют только два случая: был обмен виртуальными фотонами с маской или не был.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1130679 писал(а):

Волновая функция определяется сразу всей пространственной картиной - потенциалом во всём пространстве

В моём представлении даже стоячую волну в маленьком потенциальном ящике можно описать так же, постоянным обменом фотонами слева и справа, а также постоянным отсечением всех других состояний. Противоречий пока что не вижу (но буду благодарен, если вы на них укажете).

arseniiv в сообщении #1130685 писал(а):

Ну, вообще-то, что там будет, зависит от точного устройства установки. «Поставили магнит» не очень похоже на детальное описание, так что не думаю, что кто-то ответит, что в ней будет происходить и будет ли это можно назвать «отсеканием от суперпозиции».

Я тоже об этом подумал, слишком много потенциальных слабых мест. Можно подсветить одну из щелей лазером той или иной длины волны, но тогда получаем либо слишком сильное воздействие на электрон (это испортит возможную интерференционную картину), либо слишком малую вероятность попасть фотоном в электрон. Похоже, придётся фантазировать именно с простым магнитом.

Итак, на выходе коллиматора частиц стоит очень маленькая щель, дающая большой разброс p_x (импульс по горизонтали перпендикулярно пучку). На большом расстоянии находится маска с двумя щелями на расстоянии 1 метр друг от друга. Вокруг одной щели расположен крошечный магнит такой мощности, чтобы воздействовал почти на 100% "своих" электронов и почти на 0% "чужих". Запускаем прибор на достаточно долгий срок и смотрим картину на экране. Потом убираем магнит и запускаем ещё раз. Ожидаете ли вы увидеть интерференционную картину в обоих случаях?