Очень странный диффур

[GevorgyanH1]

$$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac 1{\sqrt{x^2+y^2}}$$

. Странный, в смысле кажется легким, но решить его мне не удается. Наверняка кто-то уже сталкивался с подобным, скажите, как такое решается? Нужно ли искать решение в параметрической форме?

[Sinoid]

Навскидку. Я бы попробовал подстановку $y=z(x)x$

[dsge]

Очень стандартный диффур с однородной правой частью.

[ShMaxG]

dsge в сообщении #1130403 писал(а):

Очень стандартный диффур с однородной правой частью.

В самом деле? Железка его не берет...

[dsge]

Лучше решать $\frac{dx}{dy}=\sqrt{x^2+y^2}$
$\frac{x}{y}=u$, переменные разделяются.

[ShMaxG]

Можно выудить кое-какую асимптотику. Перепишем уравнение в виде

$$\frac{{dx}}{{dy}} = \sqrt {{x^2} + {y^2}} $$

и сделаем замену $x=y\sh{z}$, перейдя к новой зависимой переменной $z$. Тогда получится

$$z' + \frac{1}{y}\th z = 1$$

При $y\to +\infty$, будет $z \sim y$, значит

$x \sim y\sh{y}$ при $y\to+\infty$

dsge в сообщении #1130426 писал(а):

Лучше решать $\frac{dx}{dy}=\sqrt{x^2+y^2}$
$\frac{x}{y}=u$, переменные разделяются.

Не разделяются, в этом случае получится

$$u' + \frac{1}{y}u = \sqrt {1 + {u^2}} $$

Правая часть исходного диффура не однородная, стандартный прием не работает.

[dsge]

Да, вы правы.

[mihiv]

ShMaxG в сообщении #1130429 писал(а):

При $y\to +\infty$, будет $z \sim y$, значит

$x \sim y\sh{y}$ при $y\to+\infty$

Тут нужно учитывать, что если мы в $z$ пренебрегаем слагаемым $\sim \ln y$, то в $x$ это даст множитель $\sim y$.

[ShMaxG]

Воспользуемся тем, что $\th{z} = 1 - 2\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k e^{-2(k+1)z}$ при $z>0$, рассмотрим уравнение

$$z'+\frac{1}{y}\left( 1-2e^{-2z} \right)=1$$

которое приближенно выполняется при больших игреках, а значит и больших $z$. Согласно WolframAlpha, оно имеет решение

$$z = y + \frac{1}{2}\ln \left( { - \frac{{2{c_1}}}{{{y^2}}} - \frac{{\left( {2y + 1} \right){e^{ - 2y}}}}{{{y^2}}}} \right)$$

где $c_1$ -- константа интегрирования. Поэтому, асимптотически, $z \sim y - \ln{y}$ при $y\to+\infty$. Видимо отсюда нельзя заключать, будто $x \sim y \sh{(y-\ln{y})}$. Вообще из $f(y)\sim g(y)$ вообще говоря не следует $h(f(y))\sim h(g(y))$ для произвольной $h(\cdot)$. И моя предыдущая асимптотика $x\sim y\sh{y}$ тоже под вопросом. Тем не менее, по-крайней мере для $z$ асимптотика есть.

[Vince Diesel]

dsge в сообщении #1130426 писал(а):

Лучше решать $\frac{dx}{dy}=\sqrt{x^2+y^2}$

Где-то я видел утверждение, что решения этого д.у. не выражаются в элементарных функциях.

[sergei1961]

Без корня точно не выражаются-уравнение Риккати.