Площадь поверхности наклонного конуса.

[wafemand]

Здравствуйте. Меня заинтересовала одна задача. Есть конус, в основании которого лежит круг радиуса r. Известны координаты вектора, образованного центром окружности и вершиной. Нужно найти площадь боковой поверхности конуса. К сожалению программа 10 класса не даёт мне самому разобраться в этом вопросе, поэтому обращаюсь сюда за помощью.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Anton_Peplov]

Ответьте, пожалуйста, на наводящий вопрос: как координаты вектора связаны с его длиной?

[Munin]

Что-то я навскидку боюсь, что там эллиптический интеграл получается. (На школьном языке - неберущийся.)

[DeBill]

wafemand
"Конус" в 10 классе - это "прямой круговой конус", да ?(т.е., вершина конуса лежит в точности над центром круга)

Задачу можно решать тремями способами...
1. Использовать формулу для площади боковой поверхности (которой Вас учили, но не научили, видимо...)
2. Сделать развертку боковой поверхности конуса: получится сектор. Но...Но снова придется применять формулы - теперь для площади сектора, а с ними у Вас проблемы.. (Но зато Вы сами выведите формулу из п.1)
3. Спроектировать конус на основание. При таком проектировании, площадь боковой пов-ти умножится на косинус угла между образующей и плоскостью основания - и получится площадь основания. Но, боюсь, Ваш препод не заценит такой экзотический способ - а заценит, наоборот, знание формул....

[Brukvalub]

DeBill в сообщении #1130470 писал(а):

wafemand
"Конус" в 10 классе - это "прямой круговой конус", да ?(т.е., вершина конуса лежит в точности над центром круга)

В том-то и фокус, что конус - наклонный, так что все Ваши, DeBill, предложения - "фтопку" не проходят.

[wafemand]

DeBill в сообщении #1130470 писал(а):

wafemand
"Конус" в 10 классе - это "прямой круговой конус", да ?(т.е., вершина конуса лежит в точности над центром круга)

Задачу можно решать тремями способами...
1. Использовать формулу для площади боковой поверхности (которой Вас учили, но не научили, видимо...)
2. Сделать развертку боковой поверхности конуса: получится сектор. Но...Но снова придется применять формулы - теперь для площади сектора, а с ними у Вас проблемы.. (Но зато Вы сами выведите формулу из п.1)
3. Спроектировать конус на основание. При таком проектировании, площадь боковой пов-ти умножится на косинус угла между образующей и плоскостью основания - и получится площадь основания. Но, боюсь, Ваш препод не заценит такой экзотический способ - а заценит, наоборот, знание формул....

В 10 классе мы не проходили конус, но это не важно. Конус именно наклонный, а не прямой.

1) Эти формулы я знаю.
2) С этим проблем нет)
3) (не спроектировать, а спроецировать, наверное) Задачу придумал себе я. Препод тут не причём :)

[Aritaborian]

(Оффтоп)

wafemand в сообщении #1130477 писал(а):

не спроектировать, а спроецировать, наверное

Не-не, умные дядьки говорят «спроектировать», правда-правда ;-)

[wafemand]

Munin в сообщении #1130457 писал(а):

Что-то я навскидку боюсь, что там эллиптический интеграл получается. (На школьном языке - неберущийся.)

Я так понимаю неберущийся интеграл - это тот, который нельзя выразить одной формулой?
И можете помочь с поиском этого интеграла?

-- 10.06.2016, 02:29 --

Anton_Peplov в сообщении #1130404 писал(а):

Ответьте, пожалуйста, на наводящий вопрос: как координаты вектора связаны с его длиной?

Странный вопрос. Ну если 2-мерный вектор, то $l = \sqrt{x^2 + y^2}$.
А если 3-мерный, то $l = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
l - длина вектора

[Brukvalub]

wafemand в сообщении #1130479 писал(а):

Я так понимаю неберущийся интеграл - это тот, который нельзя выразить одной формулой?
И можете помочь с поиском этого интеграла?

Раз интеграл не берется, то и найти его нельзя.

[wafemand]

Brukvalub в сообщении #1130481 писал(а):

wafemand в сообщении #1130479 писал(а):

Я так понимаю неберущийся интеграл - это тот, который нельзя выразить одной формулой?
И можете помочь с поиском этого интеграла?

Раз интеграл не берется, то и найти его нельзя.

Я имею ввиду получить хоть какой-нибудь ответ, пусть даже и с неберущимися интегралами.
То есть если $\int\limits_{}^{}f(x)dx$ не берётся, то оставить его как $\int\limits_{}^{}f(x)dx$

[Brukvalub]

В чем проблема? Параметризуйте конус, напишите компоненты первой квадратичной формы для его поверхности, найдите элемент площади поверхности и проинтегрируйте найденный элемент по области изменения параметров, делов-то на две минуты... Если мы будем решать здесь такую тривиальщину, то злые модеры мигом нас забанят за нарушение правила "простые учебные задачи не решать!".

[Red_Herring]

Самое простое: использование элементов векторного исчисления. Вот если есть кривая $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$, $0<t < T$, как найти площадь элемента конуса (закрашен)? И как параметризовать Ваш конус?

\begin{tikzpicture} \fill[cyan!20] (0,0)--(1,2)--(1.4, 2.1); \draw[thick,->] (0,0)--(1,2) node[above] {$\mathbf{r}$}; \draw[thick,->] (1,2)--(1.4, 2.1) node[above] {$d\mathbf{r}$}; \draw (0,0)--(1.4, 2.1); \end{tikzpicture}

[svv]

(Red_Herring)

Мы используем элементы векторного исчисления, потому что ищем площадь элемента поверхности. Если бы искали полный объём конуса, использовали бы векторное исчисление в полном объёме.

[Munin]

wafemand в сообщении #1130477 писал(а):

Задачу придумал себе я. Препод тут не причём :)

Прежде всего: вот тут вы очень молодец! Нечего сидеть на месте и довольствоваться тем, что скармливают!

Но увы, есть такие разделы математики (чёрт, да их большинство!), где задачи примерно распадаются на две группы:
- те, которые можно решить, сравнительно простые, и может быть, даже кому-то скучные;
- те, которые записываются хотя бы чуть-чуть сложнее, но решить их безумно сложно или невозможно вовсе.
Математика - это как ходить по болоту. Чуть-чуть оступишься, и провалишься. (Некоторое спасение можно найти в примерных вычислениях, например, в численном интегрировании.)

wafemand в сообщении #1130479 писал(а):

И можете помочь с поиском этого интеграла?

А вы смелый? Это материал первого-второго года вуза, "математический анализ функций нескольких переменных" (плюс немного "аналитической геометрии").

Суть в том, что искомый интеграл - это интеграл по поверхности. Это вам могли рассказывать на физике: вы разбиваете на малые элементы $dx$ не числовую ось $Ox,$ а некоторую поверхность $S,$ так что получаются элементы $dS$ (численно каждому элементу сопоставляется его площадь, отсюда и обозначения). Такой интеграл записывается в виде $\int f\,dS.$ Сама функция $f$ может быть при этом задана во всём объёме - $f(x,y,z)$ - но это не обязательно. Главное, чтобы она оказалась задана во всех точках, где проходит поверхность - поверхность интегрирования. Это общая идея интеграла по поверхности. А вам нужна более простая: вам нужно найти просто площадь поверхности. То есть, вы можете положить $f=1,$ и не задумываться о ней! :-) Вас интересует $S=\int dS.$

Когда мы разбили поверхность на малые элементы, мы облегчили себе работу. Мы теперь имеем дело не с искривлённой поверхностью, а с кусочком плоскости. Поэтому, мы можем применять простые формулы.

Например, можно спроецировать (умные дядьки пусть как хотят, а я привык проецировать) этот кусочек плоскости на какую-нибудь из координатных плоскостей, например, на $Oxy.$ Тогда мы можем заметить, что площади соотносятся так: $dS=\dfrac{dS_{xy}}{\cos\alpha},$ где $\alpha$ - угол между нашим кусочком плоскости, и координатной плоскостью $Oxy.$ А кусочек плоскости $dS_{xy}$ можно принять прямоугольным, и тогда написать $dS_{xy}=dx\,dy$ (от выбора формы кусочка интеграл не должен зависеть). И таким образом, мы имеем двойной интеграл, который можем взять как повторный - интеграл от интеграла:

$$\textstyle\int\ldots dS_{xy}=\iint\ldots dx\,dy=\int\bigl(\int\ldots dx\bigr)dy.$$
Ну или в другом удобном для нас порядке (не обязательно даже брать этот интеграл в декартовой системе координат по плоскости $Oxy$). Совершенно аналогично можно взять проекцию на плоскости $Oxz,\,Oyz.$

Нераскрыт только вопрос, как вычислить $\cos\alpha.$ Например, если поверхность задана как функция "рельефа местности" $z=f(x,y),$ то $dx\,dy$ будет прямоугольником, а $dS$ - "поднятым" над ним параллелограммом. Стороны этого параллелограмма образуют с плоскостью $Oxy$ углы, которые вычисляются через частные производные: $\dfrac{\partial f}{\partial x},\,\,\dfrac{\partial f}{\partial y}$ - которые берутся от $f(x,y)$ по одной переменной при условии, что вторая переменная зафиксирована, "неподвижна". Как и для обычной производной, величина производной равна тангенсу соответствующего угла. Дальше используется ловкая замена: вместо угла между плоскостями, мы рассматриваем угол между нормалями (перпендикулярными к этим плоскостям прямыми), эти два угла равны между собой. А угол между нормалями можно вычислить через скалярное произведение двух векторов: $\vec{v}_{xy}=(1,0,0),$ и $\vec{v}_{dS}=\bigl(1,\tfrac{\partial f}{\partial x},\tfrac{\partial f}{\partial y}\bigr).$ (Вектор $\vec{v}_{dS}$ нормален к плоскости $dS,$ потому что он нормален к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.) Таким образом, $\cos\alpha=\dfrac{\vec{v}_{xy}\cdot\vec{v}_{dS}}{|\vec{v}_{xy}|\cdot|\vec{v}_{dS}|},$ и окончательно, после вычисления в координатах, $\dfrac{1}{\cos\alpha}=\sqrt{1+\bigl(\tfrac{\partial f}{\partial x}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{\partial f}{\partial y}\bigr)^2}.$ Как видите, всё в конечном счёте можно вычислить средствами матанализа, геометрии и векторного исчисления.

Такой "прямолинейный" способ позволяет справиться с ситуациями общего вида, но в вашем случае я бы его не советовал. Лучше использовать хорошую форму рассматриваемой поверхности, и разбить её на кусочки удобного вида, которые потом можно будет легко собрать вместе. Один из способов вам предлагает (намёками) Red_Herring.