Задачу придумал себе я. Препод тут не причём :)
Прежде всего: вот тут вы очень молодец! Нечего сидеть на месте и довольствоваться тем, что скармливают!
Но увы, есть такие разделы математики (чёрт, да их большинство!), где задачи примерно распадаются на две группы:
- те, которые можно решить, сравнительно простые, и может быть, даже кому-то скучные;
- те, которые записываются хотя бы чуть-чуть сложнее, но решить их безумно сложно или невозможно вовсе.
Математика - это как ходить по болоту. Чуть-чуть оступишься, и провалишься. (Некоторое спасение можно найти в примерных вычислениях, например, в численном интегрировании.)
И можете помочь с поиском этого интеграла?
А вы смелый? Это материал первого-второго года вуза, "математический анализ функций нескольких переменных" (плюс немного "аналитической геометрии").
Суть в том, что искомый интеграл - это
интеграл по поверхности. Это вам могли рассказывать на физике: вы разбиваете на малые элементы
не числовую ось
а некоторую поверхность
так что получаются элементы
(численно каждому элементу сопоставляется его площадь, отсюда и обозначения). Такой интеграл записывается в виде
Сама функция
может быть при этом задана во всём объёме -
- но это не обязательно. Главное, чтобы она оказалась задана во всех точках, где проходит поверхность - поверхность интегрирования. Это общая идея интеграла по поверхности. А вам нужна более простая: вам нужно найти просто площадь поверхности. То есть, вы можете положить
и не задумываться о ней! :-) Вас интересует
Когда мы разбили поверхность на малые элементы, мы облегчили себе работу. Мы теперь имеем дело не с искривлённой поверхностью, а с кусочком плоскости. Поэтому, мы можем применять простые формулы.
Например, можно спроецировать (умные дядьки пусть как хотят, а я привык проецировать) этот кусочек плоскости на какую-нибудь из координатных плоскостей, например, на Тогда мы можем заметить, что площади соотносятся так: где - угол между нашим кусочком плоскости, и координатной плоскостью А кусочек плоскости можно принять прямоугольным, и тогда написать (от выбора формы кусочка интеграл не должен зависеть). И таким образом, мы имеем двойной интеграл, который можем взять как повторный - интеграл от интеграла:
Ну или в другом удобном для нас порядке (не обязательно даже брать этот интеграл в декартовой системе координат по плоскости ). Совершенно аналогично можно взять проекцию на плоскости
Нераскрыт только вопрос, как вычислить Например, если поверхность задана как функция "рельефа местности" то будет прямоугольником, а - "поднятым" над ним параллелограммом. Стороны этого параллелограмма образуют с плоскостью углы, которые вычисляются через частные производные: - которые берутся от по одной переменной при условии, что вторая переменная зафиксирована, "неподвижна". Как и для обычной производной, величина производной равна тангенсу соответствующего угла. Дальше используется ловкая замена: вместо угла между плоскостями, мы рассматриваем угол между нормалями (перпендикулярными к этим плоскостям прямыми), эти два угла равны между собой. А угол между нормалями можно вычислить через скалярное произведение двух векторов: и (Вектор нормален к плоскости потому что он нормален к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.) Таким образом, и окончательно, после вычисления в координатах, Как видите, всё в конечном счёте можно вычислить средствами матанализа, геометрии и векторного исчисления.
Такой "прямолинейный" способ позволяет справиться с ситуациями общего вида, но в вашем случае я бы его не советовал. Лучше использовать хорошую форму рассматриваемой поверхности, и разбить её на кусочки удобного вида, которые потом можно будет легко собрать вместе. Один из способов вам предлагает (намёками)
Red_Herring.