Проверка решения дифференциального уравнения

[3antidriver]

Доброе время суток. Возникли проблемы с проверкой решения дифференциального уравнения. С получением ответа проблем вроде бы не возникло.
Уравнение: $y^2+x^2 y' = xyy'$
Решение: привожу к виду $(xy-x^2)\frac{dy}{dx} = y^2 затем $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2/x^2}{y/x-1} делаю замену $\frac{y}{x}=t$, получаю $\frac{dx}{x} = \frac{t-1}{t}dt$, решение дает $\ln x =t - \ln t + c$, обратная замена $\ln y = \frac{y}{x}+c$
Ответ: $y=ce^{y/x}$.

Прямая подстановка данного ответа вместо y и производной ответа вместо y' не дает равенства:
$y' = -c \frac{y}{x^2}e^{y/x}$;
$c^2 (e^{y/x})^2 - x^2 \frac{y}{x^2}ce^{y/x} = -xce^{y/x} \frac{y}{x^2}ce^{y/x}$;
$ce^{y/x}-y = c \frac{y}{x}e^{y/x}$;
$y-y = \frac{y}{x} ce^{y/x}$;
$\frac{y^2}{x}=0$.
Подскажите где ошибка и ка правильно проверить решение?

[ShMaxG]

3antidriver в сообщении #1129712 писал(а):

$y' = -c \frac{y}{x^2}e^{y/x}$

Вот тут неправильно. Когда производную от правой части берете, должен $y'$ вылезать.

-- Вт июн 07, 2016 15:04:34 --

К тому же, $\int{\frac{dx}{x}} = \ln{|x|} + C$, вы модуль забыли.

[3antidriver]

Насчёт модуля, спасибо, поправлю.

Цитата:

Когда производную от правой части берете, должен $y'$ вылезать

Вот это я не понял. Можно поподробнее написать?

[ShMaxG]

3antidriver в сообщении #1129720 писал(а):

Вот это я не понял. Можно поподробнее написать?

Правая часть зависит от игрека, поэтому когда вы берете производную по иксу, то производная игрека по иксу тоже должна возникнуть. Например,

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{y'x-y}{x^2}$$

а у вас $(y/x)'=-y/x^2$. Игрек это не константа, а функция икса.

[3antidriver]

ShMaxG, попробовал, но всё равно не сошлось.
Исходное уравнение: $y^2 +xy' = xyy'$; решение $y=ce^{y/x}$.
$y' = ce^{x/y} \cdot \frac{y'x-y}{x^2}$;
Подставляю:
с^2e^{2y/x}+cxe^{y/x} \cdot \frac{y'x-y}{x^2} = xce^{y/x} \cdot ce^{y/x} \cdot \frac{y'x-y}{x^2}$;
сe^{y/x}+\frac{y'x-y}{x} = ce^{y/x} \cdot \frac{y'x-y}{x}$.
Что в данном случае не так?

[ShMaxG]

3antidriver в сообщении #1130300 писал(а):

Исходное уравнение: $y^2 +xy' = xyy'$

Ошибка, там $x^2$ перед $y'$.

[3antidriver]

На самом деле. Это уже невнимательность.
Исходное уравнение: $y^2 +x^2y' = xyy'$; решение $y=ce^{y/x}$.
$y' = ce^{x/y} \cdot \frac{y'x-y}{x^2}$;
Подставляю:
с^2e^{2y/x}+cx^2e^{y/x} \cdot \frac{y'x-y}{x^2} = xce^{y/x} \cdot ce^{y/x} \cdot \frac{y'x-y}{x^2}$;
сe^{y/x}+(y'x-y) = ce^{y/x} \cdot \frac{y'x-y}{x}$.
Всё равно не сходится и дальнейшие преобразования ни к чему не приводят.

[ShMaxG]

3antidriver в сообщении #1130310 писал(а):

$y' = ce^{x/y} \cdot \frac{y'x-y}{x^2}$;

Вот тут еще внимательнее будьте с показателем экспоненты.

3antidriver в сообщении #1130310 писал(а):

$ce^{y/x}+(y'x-y) = ce^{y/x} \cdot \frac{y'x-y}{x}$.

Это верное равенство (тождество). У вас же не произвольная $y(x)$, а удовлетворяющая соотношению $y=ce^{y/x}$. Еще чуть-чуть повозитесь.

[3antidriver]

Всё, получилось. ShMaxG, огромное спасибо в помощи. Привожу дальнейшие расчеты.
$ce^{y/x} - ce^{y/x} \cdot \frac{y'x-y}{x} + (y'x-y)=0$
$ce^{y/x} \cdot (1-\frac{y'x-y}{x})+(y'x-y)=0$
$y'x-y = ce^{y/x} \cdot (\frac{y'x-y}{x}-1)$
$ce^{x/y} \cdot (1-\frac{y'x-y}{x}+\frac{y'x-y}{x}-1)=0$

[ShMaxG]

3antidriver
Ну да, или сразу в выражении

3antidriver в сообщении #1130310 писал(а):

$ce^{y/x}+(y'x-y) = ce^{y/x} \cdot \frac{y'x-y}{x}$

сократить $ce^{y/x} - y$ и подставить формулу для $y'$ в левую часть.

[alcoholist]

3antidriver в сообщении #1129712 писал(а):

Подскажите где ошибка и ка правильно проверить решение?

Считаем $y$ независимой переменной.

возьмите $x(y)=\frac{y}{\ln y+C}$ и подставьте в уравнение $\frac{dx}{dy}=\frac{x}{y}-\frac{x^2}{y^2}$. Все сойдется.