Волшебное число пи

[Rusit8800]

Почему отношение длины любой окружности к ее диаметру есть всегда константа-$\pi$?Это аксиома или есть такая теорема?

[Dmitriy40]

Если записать длину окружности радиуса $r$ в виде интеграла по углу, то в результате получим формулу зависимости длины от радиуса: $L(r)$. Поделив на радиус $r$ получим константу: $L(r)/r=\operatorname{const}$. Её и назвали $\pi$.
Разумеется для плоского пространства.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Someone]

Это следствие того, что в евклидовой геометрии существуют подобные (не равные) треугольники. В геометрии Лобачевского, например, подобных треугольников нет, и там отношение длины окружности к диаметру не является постоянной величиной.

[Mikhail_K]

Rusit8800 в сообщении #1130346 писал(а):

Почему отношение длины любой окружности к ее диаметру есть всегда константа-$\pi$?Это аксиома или есть такая теорема?

Почему бы Вам не поискать ответ на Ваш вопрос в школьном учебнике геометрии?
Замечу только, что было бы очень странно брать такое утверждение в качестве аксиомы. Даже знаменитая аксиома параллельных долгое время вызывала у математиков прошлого желание от неё избавиться из-за её недостаточной очевидности (что и привело в итоге к появлению неевклидовых геометрий). Интересующее же Вас утверждение гораздо менее очевидно, чем даже аксиома параллельных.

[Sinoid]

Rusit8800 в сообщении #1130346 писал(а):

Это аксиома или есть такая теорема?

Я учился по Погорелову, так там это теорема девятого класса.

[Dmitriy40]

Точно, теорема 13.5 (10-е издание 2000г). Доказывается через вписанные правильные многоугольники, для которых отношение периметра к радиусам найдено ранее буквально в конце предыдущего параграфа (через коэффициент подобия). Но через интеграл (когда их уже знаешь) считаю красивее.

[Sinoid]

Dmitriy40 в сообщении #1130395 писал(а):

Доказывается через вписанные правильные многоугольники

и описанные.

Dmitriy40 в сообщении #1130395 писал(а):

Но через интеграл (когда их уже знаешь) считаю красивее

я бы сказал не столько красивее, сколько проще.

[Rusit8800]

Mikhail_K в сообщении #1130359 писал(а):

Интересующее же Вас утверждение гораздо менее очевидно, чем даже аксиома параллельных.

То, что $5 \ne 6.45$, тоже очевидно, однако это доказывается строго через аксиому нетривиальности поля

[Mikhail_K]

Rusit8800 в сообщении #1130439 писал(а):

То, что $5 \ne 6.45$, тоже очевидно, однако это доказывается

Я нигде выше не говорил, что очевидные вещи не должны доказываться.

[Brukvalub]

Rusit8800 в сообщении #1130439 писал(а):

То, что $5 \ne 6.45$, тоже очевидно, однако это доказывается строго через аксиому нетривиальности поля

Какого поля? Электромагнитного?

[arseniiv]

Видимо, рациональных чисел или какое-нибудь его надполе.

-- Пт июн 10, 2016 03:06:19 --

Хотя достаточно поля, в котором существует $1/20$.

[Brukvalub]

Неужели теперь в пятом классе уже не проходят условие равенства пропорций "перемножением крест-накрест" ?

[Rusit8800]

Brukvalub в сообщении #1130460 писал(а):

Какого поля? Электромагнитного?

Пшеничное
Аксиоматика действительный чисел

[Geen]

Rusit8800 в сообщении #1132884 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1130460 писал(а):

Какого поля? Электромагнитного?

Пшеничное
Аксиоматика действительный чисел

По всей видимости, Вы можете написать и аксиомы, и формальный вывод упомянутого Вами неравенства.
Только после этого непонятно где у Вас могли возникнуть затруднения с $\pi $ (ну если не считать того, что раздел немного другой).