Существование геодезической на некомпактном многообразии

[SurovM]

Меня интересует вопрос существования геодезической на Римановом многообразии со следующими свойствами
- многообразие не компактно
- метрика положительно определена всюду на многообразии, но на границе зануляется
- геодезическая должна соединять 2 точки на границе

Пример:
Многообразие $\mathcal{M}\in\mathbb{R}^{2}$ определено как

$$\mathcal{M}=\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{R}^{2}:\,4x^{2}+y<6\right\} $$

с метрическим тензором $g$, который в координатах $(x,y)$ имеет компоненты

$$g=\left(6-4x^{2}-y\right)\left[\begin{array}{cc} 1 & \frac{\arctg{2y}}{2}\\ \frac{\arctg{2y}}{2} & 1 \end{array}\right].$$

Предполагаем, что на многообразии определена связность Леви-Чивиты. Как видно $g_p = 0 \quad \forall p \in \partial\mathcal{M}$.

Вопрос: Существует ли геодезическая, которая соединяет 2 точки на $\partial\mathcal{M}$?
То есть

$$\gamma: \mathbb{R}\to\mathcal{M}$$

$$\gamma(0), \gamma(t) \in \partial\mathcal{M} \quad \text{для некоторого} \quad t\in\mathbb{R}.$$

P.S.: Я нашёл некоторые публикации по теме

• Benci - Closed geodesics for the Jacobi metric and periodic solutions of prescribed energy of natural Hamiltonian systems
• Hayashi - Periodic Solution of Classical Hamiltonian Systems

но в них существенным является требование компактности $\mathcal{M}$.

P.S.: Скорее всего, задача не имеет общего решения, но некоторые частные случаи, в которых эта задача разрешима, мне тоже интересны.

[DeBill]

SurovM
Мне кажется, ничего хорошего Вас не ожидает. Потому как сразу видно, как за наименьшее время добраться из точки на границе до другой точки на границе: надо тупо пилить вдоль границы, и за нулевое время попадем куда угодно....

-- 07.06.2016, 23:20 --

А, про некомпактность я забыл..
Тогда так: идем рядом с границей, и за сколь угодно малое время - дойдем...

[svv]

Я тоже так сначала подумал: любая кривая, которая хочет стать геодезической, неминуемо съедет к границе.
Но всё-таки необязательно. На круге $x^2+y^2\leqslant 1$ возьмём метрический тензор $g=(1-x^2-y^2)\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}$. Тензор нулевой на границе, но диаметры круга будут геодезическими («прямейшими», хоть и не «кратчайшими»). К тому же см. физическую интерпретацию метрики Якоби.
Другое дело, что для двух произвольных точек на границе вряд ли найдётся соединяющая их геодезическая.

[SurovM]

svv, более того, существование геодезической, соединяющей 2 хоть какие-то точки на границе -- очень редкий случай. Для приведённого мной примера я нашёл (численно) единственную такую геодезическую. Все остальные, начинающиеся на границе, уходят на бесконечность ($y \to -\infty$).

Кроме того, есть лемма, которая говорит, что все геодезические, начинающиеся на границе, перпендикулярны ей вблизи границы (при достаточно общих условиях).

Так что "тупо пилить вдоль границы" не получится. Просто потому, не существует геодезических "параллельных" границе, в малой окрестности они все будут ей перпендикулярны.

Вообще, хотелось бы увидеть ссылки на публикации по теме, ибо ничего хорошего я найти не смог.

[DeBill]

SurovM
Рассуждение "тупо пилить вдоль границы" показывает, что минимум (точнее, инфимум) функционала "длина кривой" равен 0; замечание о "не получится" говорит, что этот миниум не достигается. Так что же за задачу мы обсуждаем? О ЛОКАЛЬНЫХ минимумах нашего функционала? Ну, это другое дело...
Так в чем тогда проблемы? Опять же, тупо пишем уравнение Эйлера-Лагранжа, и смотрим на существование решений с нужными краевыми условиями. Уравнение это - нехорошее, причем нехорошесть как раз в конечных точках. Для существования решений нужно качественное исследование полученной системы (что-то вроде наличия сепаратрисы из седла в седло - а это большая редкость)...
Про перпендикулярность геодезических: боюсь, это не есть Ваш случай (а есть случай, когда метрический тензор ВЫРОЖДАЕТСЯ, но не ЗАНУЛЯЕТСЯ). Качественно это хорошо видно на примере:
Рассмотрим на верхней полуплоскости евклидову метрику, и перетащим ее на полуплоскость $z>0$ отображением $(x,z) \to (x,y=z^2)$ . Прообразы геодезических (прямые) станут параболами ("лежачими") - и будет их перпендикулярность краю....
Думается, это достаточно общий случай: вырождение метрики (равенство нулю соотв. определителя) в силу его неотрицательности обязательно происходит на кривой (ее можно временно назначить границей области), что и должно - в типичных случаях - позволять "поднимать" метрику в хорошее место - как в модельном примере.

[SurovM]

DeBill

Цитата:

Так что же за задачу мы обсуждаем?

Прочтите пример, который я привёл. Если что-то останется не ясно, я могу дополнительно пояснить.

-- 08.06.2016, 13:38 --

DeBill
По поводу перпендикулярности см. лемму 1 в этой статье http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.tjm/1270213886.

[svv]

(SurovM)

Интересно, Вы себе представляли наглядную картинку вроде такой? В чистом поле ($\mathbb R^2$) есть овраг, занимающий область $4x^{2}+y\leqslant 6\right\}$. Глубина оврага в точке $(x, y)$ равна $6-4x^2-y$ (ну, или отрицательная высота равна минус этому). Стало быть, на границе глубина нулевая. С края оврага отпускаем (но не толкаем) шарик. Он скатывается в овраг, причём понятно, что на границе траектория перпендикулярна границе. Потерь энергии на трение нет. Нам интересна ситуация, когда шарик выкатится из оврага где-нибудь в другой точке.
Очень правдоподобно, что при такой форме оврага в ходе экспериментов бОльшая часть шариков, если не все, будут безвозвратно потеряны... Я, правда, не учитываю внедиагональные элементы метрического тензора — с ними «истинная» форма оврага другая.

[DeBill]

SurovM

DeBill в сообщении #1129985 писал(а):

Так что же за задачу мы обсуждаем?

Вообще-то это был риторический вопрос..
Посмотрел лемму. Обратите внимание на формулу (7): товарисч ввел новые к-ты, в которых все - как в моем примере.
Еще: множитель в метрике - как у Вас - возникает в принципе Мопертюи (в статье он так и появился). Может, сделать обратный ход?
Посмотрел - грубо - Вашу систему. Возникает дифур в четырехмерном пространстве - не очень хороший (с неизолированными особыми точками; забавно: мы по гранту как раз собираемся такие ковырять...). Задача состоит в: можно ли с поверхности размерности 2 попасть на другую такую поверхность? Вроде бы - а почему нет? (причем кучей способов - что странно... )

[SurovM]

svv, да, это по сути и есть исходная задача в более наглядной формулировке -- наклонённый желоб (поверхность $z(x,y) = 4 x^2+y$) с шариком. Ставим шарик на стенку этого желоба на высоте $z=6$ и отпускаем. Координата $z $ как-то эволюционирует во времени. Вопрос: достигнет ли $z$ первоначального значения? Если бы это был шарик на обычной поверхности, то ответ скорее всего был бы отрицательным. Но для приведённого мной примера, вероятно, решение существует. И скорее всего единственное. Как это доказать?
DeBill, Уравнения Лагранжа во-первых, вырождаются (с этим ещё можно побороться), во-вторых, не совсем ясно какие ограничения накладывать на решение. Тут либо вводить структуру гильбертова пространства (или какой-то функционал, который будет говорить на каком расстоянии до границы находится геодезическая) на множестве решений и как-то их сравнивать... Вот в этой книге есть нечто подобное Hofer Symplectic invariants and Hamiltonian dynamics в главе 1.5. Но там опять же многообразие компактное, да ещё куча других ограничений накладывается, которые для моего примера не сработают.

[DeBill]

Симметричный пример svv - в качестве модельного - хорош. Но я попробовал еще более простой (хочь и не симметричный - ведь для симметричного примера симметричные решения - диаметры- мы, конечно, найдем; но есть ли несимметричные?): с метрикой $ds^2 = y(dx^2 + dy^2)$, в верхней полуплоскости. ССобака, даже тут дифуры явно не решаются (а угадываемое решение норовит быть комплексным). Все, сдаюся я...

[scwec]

SurovM, стоит посмотреть статью В.В.Козлова в УМН 1985 года "Вариационное исчисление в целом и классическая механика".
Правда, для существования либраций там требуется компактная граница.
Но всё же, может и поможет. Там много интересного.

[SurovM]

scwec, спасибо, на первый взгляд выглядит интересно.

У В.В. Козлова есть ещё книга Методы качественного анализа в динамике твёрдого тела, Вы не читали? Книга довольно большая, у меня руки не дошли. Есть ли там что-то по этой теме?

[svv]

DeBill в сообщении #1130097 писал(а):

для симметричного примера симметричные решения - диаметры- мы, конечно, найдем; но есть ли несимметричные?

Ваша метрика напомнила мне метрику модели Пуанкаре (той, которая на верхней полуплоскости) плоскости Лобачевского: $ds^2 = y^{-2}(dx^2 + dy^2)$. Моя метрика на круге, соответственно, напоминает метрику модели Пуанкаре на круге: $ds^2=4(1-x^2-y^2)^{-2}(dx^2 + dy^2)$. Жаль, что эти метрики на границе модели обращаются в бесконечность (у «настоящей»-то плоскости Лобачевского никакой границы нет), а метрика в данной задаче — в нуль. Жаль потому, что модели Пуанкаре хорошо изучены, и для них известны все геодезические, как симметричные (по отношению к модели), так и не.

[scwec]

SurovM в сообщении #1130114 писал(а):

У В.В. Козлова есть ещё книга Методы качественного анализа в динамике твёрдого тела,.... Есть ли там что-то по этой теме?

Вас там может заинтересовать глава VI Принцип наименьшего действия и периодические решения в динамике твердого тела.