Классификация уравнений мат физики

[Alex783777]

Здравствуйте
Читаю учебник Владимирова Уравнения математической физики.

Помогите разобраться с доказательством леммы, используемой при классификации уравнений мат физики с 2-я переменными (на стр. 63).
Сама лемма звучит так: Пусть функция $w(x,y)$ класса $C^1$такова, что $\frac{dw}{dy}\ne0$.
Для того чтобы семейство кривых $w(x,y)=C$ давало характеристики уравнения
$au_x_x+2bu_x_y+cu_y_y+F(x,y,u,u_x,u_y)=0 (1)$ ,
необходимо и достаточно чтобы выражение $w(x,y)=C$ было общим интегралом одного из ОДУ:
$\frac{dy}{dx}= \lambda_1(x,y), \frac{dy}{dx}= \lambda_2(x,y) (2)$
Я не понимаю доказательства! Знаю аналог этой леммы, например у ТихоноваСамарскогоУМФ, там всё вроде ясно, но у Владимирова какие то лютые построения. Помогите разобраться)
Итак, доказательство:
Пусть $w(x,y)=C$ - семейство характеристик уравнения (1). Из условия $\frac{dw}{dy}\ne0$ следует,
что кривые $w(x,y)=C$ заполняют некоторую окрестность.
Поэтому функция удовлетворяет в этой окрестности одному из уравнений (2), например первому.
Что значит "заполняет"? В смысле кривых Пеано? Прям всю окрестность закрасили? Как этого добились? Изменяя константу? Но тогда при чем тут неравенство нулю производной?

Поэтому функция удовлетворяет в этой окрестности одному из уравнений обращающих в ноль коэффициенты при вторых производных в этой окрестности
$w_x+\lambda_1(x,y)w_y=0 (3)$
Почему поэтому? Если w - характеристика, то она же обращает в ноль коэффициент при второй производной, а значит и удовлетворяет одному из уравнений?
Как сюда окрестность приплели? Зачем нам вообще сдалась эта окрестность?
Я понимаю, что теорема существования и единственности ОДУ доказывается в окрестности, к этому хотят подвести?

Далее, дифференцируем $w(x,y)=C$, получаем $w_x+w_yy_x=0 (4)$
Отсюда и (3) а также $\frac{dw}{dy}\ne0$ вытекает, что $w(x,y)=C$ есть общий интеграл первого уравнения.
Ну, здесь вроде понятно, выразили $\frac{dw}{dy}$ из обоих уравнений, приравняли, получили, что
$w(x,y)$ удовлетворяет уравнению и, значит, является общим интегралом.
Обратно, из того что $w(x,y)=C$ есть общий интеграл одного из (2) и верно (4), следует, что выполняется (3) и через каждую точку проходит только одна кривая $w(x,y)=C$ по теореме существования и единственности решения ОДУ.
Поэтому уравнение (3) удовлетворяется во всех точках этой окрестности
Почему??
Отсюда заключаем, что $\frac{dw}{dy}\ne0$ и $w(x,y)=C$- характеристики
Как (3) объясняет, что производная отлична от нуля?

[alcoholist]

Alex783777 в сообщении #1129983 писал(а):

что кривые $w(x,y)=C$ заполняют некоторую окрестность

константа $C$ изменяется, кривые $w(x,y)=C$ почти параллельны и заполняют что там нужно

[Alex783777]

alcoholist в сообщении #1130103 писал(а):

Alex783777 в сообщении #1129983 писал(а):

что кривые $w(x,y)=C$ заполняют некоторую окрестность

константа $C$ изменяется, кривые $w(x,y)=C$ почти параллельны и заполняют что там нужно

Спасибо за ответ, но почему это следует из того, что производная характеристики по y отлична от нуля?

[Vince Diesel]

Alex783777 в сообщении #1130448 писал(а):

Спасибо за ответ, но почему это следует из того, что производная характеристики по y отлична от нуля?

Теорема о неявной функции. Из условия неравенства производной по $y$ нулю следует, что кривые не вертикальны в некоторой окрестности и их можно представить как графики функций $y(x)$. Значит, можно писать $dy/dx$ и т.д.

[Alex783777]

Vince Diesel в сообщении #1130452 писал(а):

Alex783777 в сообщении #1130448 писал(а):

Спасибо за ответ, но почему это следует из того, что производная характеристики по y отлична от нуля?

Теорема о неявной функции. Из условия неравенства производной по $y$ нулю следует, что кривые не вертикальны в некоторой окрестности и их можно представить как графики функций $y(x)$. Значит, можно писать $dy/dx$ и т.д.

Ну да, это я помнил когда задавал вопрос. По теореме о неявной функции существует некая окрестность в которой характеристика разрешима относительно y и она тоже С1. Так то и без разрешимости характеристическая линия заданная w(x,y)-C=0 может заполнять окрестность простым изменением С. Получается, тут важно именно то, что кривая принадлежит С1, т.е. заполняет без разрывов?

[Vince Diesel]

Alex783777 в сообщении #1129983 писал(а):

Для того чтобы семейство кривых $w(x,y)=C$ давало характеристики уравнения
$au_x_x+2bu_x_y+cu_y_y+F(x,y,u,u_x,u_y)=0 (1)$ ,
необходимо и достаточно чтобы выражение $w(x,y)=C$ было общим интегралом одного из ОДУ:
$\frac{dy}{dx}= \lambda_1(x,y), \frac{dy}{dx}= \lambda_2(x,y) (2)$

От уравнения характеристик надо перейти к д.у., так что надо семейство решений $y=y(x,C)$, графики которых заполняют окрестность. А если нет разрешимости, то $\frac{dy}{dx}$ написать не получится.