Система уравнений с параметром

[ShMaxG]

stedent076
А в смысле не получается преобразовать? Просто подставьте $x=p+a$ и $y=q+a/2$.

Мне пока не удалось доказать, что при $a\ne 1$ нет решений, хотя численно вроде так и получается. Ощущение, будто и правда в условии ошибка.

-- Ср июн 08, 2016 16:51:15 --

stedent076
Ан-нет, помимо $a=1$ есть как минимум еще два решения:

$$a\approx -1.99093$$

$$a\approx 0.280437$$

UPD.

[stedent076]

ShMaxG

ShMaxG в сообщении #1130028 писал(а):

есть как минимум еще два решения:

$$a\approx -1.99093$$

$$a\approx -0.280437$$

Ответ задачи как раз).
Подставить-то дело нехитрое. Но вот смысл написания уравнения $8a(p+a)+4a(q+\dfrac{a}{2})+7a^2-4(p^2+2ap+a^2)-4(q+\dfrac{a}{2})+20a=0$ не очень понятен.Зачем усложнять?

[ShMaxG]

stedent076 в сообщении #1130050 писал(а):

Ответ задачи как раз).

Не как раз, но близко.

stedent076 в сообщении #1130050 писал(а):

Но вот смысл написания уравнения $8a(p+a)+4a(q+\dfrac{a}{2})+7a^2-4(p^2+2ap+p^2)-4(q+\dfrac{a}{2})+20a=0$ не очень понятен.

Смысл в том, что получается уравнение вида $q=(...)p^2+(...)$ (это парабола), в правой части не будет слагаемого, пропорционального $p$. Таким образом, задача сводится к поиску значений параметра $a$, при которых гипербола $pq=1$ и парабола имеют ровно два пересечения.

Можно, конечно, на листочке прикидывать, куда направлены ветви параболы и как она пересекает гиперболу, но зависимость от параметра очень сложная. Поэтому можно попробовать подставить $q=1/p$ в уравнение для параболы и решать полученное кубическое уравнение. Но оно имеет сложный вид. Ну значит можно попробовать анализировать локальные максимумы и минимумы полученной кубической параболы. Это приводит к уравнениям высокой степени относительно $a$, которые вряд ли решаются аналитически. Решив их численно, я получил те хитрые значения.

[stedent076]

ShMaxG
Это конечно все правильно, но дело в том, что предыдущие 45 заданий, которые я решил из этого сборника, решаются значительно проще. Поэтому у меня есть надежда, что кроме предложенного Вами пути поиска ответа, есть еще и другие, куда более легкие.

(Оффтоп)

Тоже пойти что ли подписать петицию о пересмотре расчета вторичных баллов.....

[SomePupil]

(Оффтоп)

stedent076 писал(а):

Тоже пойти что ли подписать петицию о пересмотре расчета вторичных баллов.....

Так и напишите: "Из-за гиперболы". То-то организаторы удивятся!

[alcoholist]

ShMaxG в сообщении #1130028 писал(а):

Ан-нет, помимо $a=1$ есть как минимум еще два решения:

$$a\approx -1.99093$$

$$a\approx -0.280437$$

а у меня получилось $a_1\approx -1.89978$, $a_2\approx 0.10072$

[ShMaxG]

alcoholist в сообщении #1130067 писал(а):

а у меня получилось $a_1\approx -1.89978$, $a_2\approx 0.10072$

Далековато от решения, взгляните на картинку. Это уравнение, которое получается, если выразить игреки из первого и второго уравнения и приравнять. То же самое и для вашего $a_2$.

У меня выше должно было быть $a\approx 0.280437$, без минуса.

[stedent076]

Я все-таки не теряю надежы, что кто-то предложит в этой теме относительно простой способ решения

[ShMaxG]

stedent076
Его скорее всего нет, потому что условие задачи скорее всего неверно. Если бы оно было верным, то решения находились бы точные, независимо от того, каким методом они были получены (простым или сложным).

По-крайней мере несовпадение с ответами говорит о том, что здесь что-то не так.

[stedent076]

ShMaxG
да, возможно Вы правы.
Спасибо всем, кто принял участие в обсуждении!