Задачи по Биному Ньютона

[Rushi]

может кто силен в Биноме Ньютона, я видимо нет...надо посчитать эти суммы... или хотябы одну...
\sum\limits_{k=0}^{\infty} C_{11}^k *3^k*5^{11-k}
\sum\limits_{k=0}^n C_n^k *(-1)^k*5^k
\sum\limits_{k=0}^n C_n^k *k(k-1)
спасибо если кто поможет..

[Sergic Primazon]

Rushi писал(а):

может кто силен в Биноме Ньютона, я видимо нет...надо посчитать эти суммы... или хотябы одну...
\sum\limits_{k=0}^{\infty} C_{11}^k *3^k*5^{11-k}
\sum\limits_{k=0}^n C_n^k *(-1)^k*5^k
\sum\limits_{k=0}^n C_n^k *k(k-1)
спасибо если кто поможет..

\sum\limits_{k=0}^n C_{11}^k *3^k*5^{11-k} = ( 3 + 5 )^{11}
\sum\limits_{k=0}^n C_n^k *(-1)^k*5^k= ( 1-5)^n
\sum\limits_{k=0}^n C_n^k *k(k-1)= n(n-1)2^{n-2}

[Rushi]

Sergic Primazon писал(а):

\sum\limits_{k=0}^n C_{11}^k *3^k*5^{11-k} = ( 3 + 5 )^{11}
\sum\limits_{k=0}^n C_n^k *(-1)^k*5^k= ( 1-5)^n
\sum\limits_{k=0}^n C_n^k *k(k-1)= n(n-1)2^{n-2}

спасибо большое! Пару вопросов, в третьем примере как я поняла надо было 2 раза дифференцировать? Первый был бы так слишком легкий, суммируют до бесконечности..хотя я не знаю, может опечатка в задании, по Биному должно n стоять..

[Henrylee]

Rushi писал(а):

Пару вопросов, в третьем примере как я поняла надо было 2 раза дифференцировать?

Да.

Rushi писал(а):

Первый был бы так слишком легкий, суммируют до бесконечности..хотя я не знаю, может опечатка в задании, по Биному должно n стоять..

По логике там не должно стоять ни $\infty$ ни $n$, а 11. (иначе нету смысла в записи $C_{11}^*$)

[Rushi]

Henrylee писал(а):

Rushi писал(а):

Пару вопросов, в третьем примере как я поняла надо было 2 раза дифференцировать?

Да.

Rushi писал(а):

Первый был бы так слишком легкий, суммируют до бесконечности..хотя я не знаю, может опечатка в задании, по Биному должно n стоять..

По логике там не должно стоять ни $\infty$ ни $n$, а 11. (иначе нету смысла в записи $C_{11}^*$)

то что 11 понятно, я в общем написала, наверно опечатка,спасибо...

забыла спросить как выглядит формула Бинома для четных коэффициентов? Я так понимаю так \sum\limits_{k=0}^n C_n^{2*k}, а как тогда в общем?

[Brukvalub]

Rushi писал(а):

забыла спросить как выглядит формула Бинома для четных коэффициентов? Я так понимаю так \sum\limits_{k=0}^n C_n^{2*k}, а как тогда в общем?

Как же верхний индекс биномиального коэффициента может превосходить нижний его индекс?

[Rushi]

Brukvalub писал(а):

Rushi писал(а):

забыла спросить как выглядит формула Бинома для четных коэффициентов? Я так понимаю так \sum\limits_{k=0}^n C_n^{2*k}, а как тогда в общем?

Как же верхний индекс биномиального коэффициента может превосходить нижний его индекс?

да глупость.
сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, значит равна 2^{n-1}?

[Brukvalub]

Да.

[RIP]

Brukvalub писал(а):

Как же верхний индекс биномиального коэффициента может превосходить нижний его индекс?

Вроде бы принято считать, что $C_n^k=0$, если $k<0$ или $k>n\geqslant0$.

[maxal]

RIP писал(а):

Вроде бы принято считать, что $C_n^k=0$, если $k<0$ или $k>n\geqslant0$.

Тут есть терминологическая тонкость. Числа $C_n^k$ - это числа сочетаний и они не имеют смысла, кроме как для целых чисел $0\leq k\leq n$. Как правило, это обозначение используется только в школьных книжках (и то старого образца).
А вот их обощение - биномиальные коэффициенты ${n\choose k}$ - действительно можно определять на более широких классах чисел: отрицательных, комплексных, квантовых и т.д.

[Azog]

0 можно доопределить исходя из треугольника Паскаля - там же снаружи нолики стоят =)

[Rushi]

тоесть моя первая сумма может все таки идти до бесконечности...?

[maxal]

Rushi писал(а):

тоесть моя первая сумма может все таки идти до бесконечности...?

Может, но правильнее писать так:

$$\sum\limits_{k=0}^{\infty} \binom{11}{k} 3^k 5^{11-k}$$

[Azog]

да может, но если Вы так напишите на контрольной то один из здесь присутствующих преподавателей Вас запинает ногами.
Когда мне школьникки у которых я веду по тем или иным причинам занятия приносят подобные штучки - им приходиться рассказывать мне что подразумевает бесконечное суммирование, определение и признаки сходимости рядов ну и так далее... Так что лучше не пишите) А то Вам еще пришьют гамма функцию на месте факториалов и будете интегралы считать от них - то еще удовольствие, до сих пор тошно вспоминать)

[Rushi]

maxal писал(а):

Rushi писал(а):

тоесть моя первая сумма может все таки идти до бесконечности...?

Может, но правильнее писать так:

$$\sum\limits_{k=0}^{\infty} \binom{11}{k} 3^k 5^{11-k}$$

у меня собсно так и написанно.. не знала как это сдесь формулой написать.