Задача о кубической функции (касательные, экстремум, ...)

[KPEHgEJIb]

О кубической функции $y=ax^3+bx^2+c+1$ известно, что среди касательных к её графику существует только единственная касательная, угловой коэффициент которой равен $4$, причём абсцисса точки касания $x=-\frac{1}{3}$. Кроме этого известно, что данная кубическая функция имеет экстремум в точке $x=-1$. Определите коэффициенты $a$, $b$ и $c$.

$1$. Угловой коэффициент равен производной функции.
$y'=3ax^2+bx+c$
$y'=4$
$3ax^2+bx+c-4=0$
Так как по условию это точка касания, то $D=0$.
$b^2-3ac+12a=0$

$2$. Так как абсцисса точки касания $x=-\frac{1}{3}$, то, подставив в выражение производной, имеем:
$a-2b+3c=12$

$3$. Если в точке $x=-1$ имеется экстремум, то $f(x)'=0$ (вот в этом я не уверен).
$3a-2b+c-4=0$

Получил систему из 3-ёх уравнений:
$b^2-3ac+12a=0$
$a-2b+3c=12$
$3a-2b+c-4=0$

Решив её получил $a=\frac{3}{11}$, $b=\frac{6}{11}$, $c=4\frac{6}{11}$. Но проверка не проходит

[Enne]

KPEHgEJIb писал(а):

О кубической функции $y=ax^3+bx^2+c+1$ известно, что среди касательных к её графику существует только единственная касательная, угловой коэффициент которой равен $4$, причём абсцисса точки касания $x=-\frac{1}{3}$. Кроме этого известно, что данная кубическая функция имеет экстремум в точке $x=-1$. Определите коэффициенты $a$, $b$ и $c$.

$1$. Угловой коэффициент равен производной функции.
$y'=3ax^2+bx+c$

А почему при нахождении производной остался член $c$, который не зависил от $x$?

[Brukvalub]

KPEHgEJIb писал(а):

Так как по условию это точка касания, то $D=0$.
$b^2-3ac+12a=0$

Для начала, странный у Вас дискриминант. Раньше его писали иначе.











д

[незваный гость]

KPEHgEJIb писал(а):

Так как по условию это точка касания, то $D=0$.
$b^2-3ac+12a=0$

Этот вывод необоснован (или обоснован неправильно).

KPEHgEJIb писал(а):

$3$. Если в точке $x=-1$ имеется экстремум, то $f(x)'=0$ (вот в этом я не уверен).

Зря!!! Это — теорема Ферма.

KPEHgEJIb писал(а):

$3a-2b+c-4=0$

А вот это откуда?!

~~~

При правильных вычислениях у Вас должно получиться два уравнения плюс условие, которое Вы пока не использовали. А именно, касательная с угловым — единственная.

[Алексей К.]

KPEHgEJIb писал(а):

Так как по условию это точка касания, то $D=0$.

Вывод странный. Додумайте, детализируйте.

[Azog]

1. В первом действии Вы двойку потеряли и с у вас непонятного происхождения.
2. неверно по причине неправильности 1 действия.
3. действительно зря =)

[KPEHgEJIb]

незваный гость,
Enne, только сильно не бейте. Я ошибся в записи функции, она выглядит так: $ax^3+bx^2+cx+1$. Поэтому производная получается $3ax^2+2bx+c$.
У касательной только одна точка касания, значит дискриминант равен нулю. $3ax^2+2bx+c-4=0$

Д=$(2b)^2-4(3a)(c-4)=4b^2-12ac+48a=b^2-3ac+12a$

KPEHgEJIb писал(а):

$3$. Если в точке $x=-1$ имеется экстремум, то $f(x)'=0$ (вот в этом я не уверен).

Зря!!! Это — теорема Ферма.
Теорема Ферма ведь $a^n+b^n+c^2$ ?!

KPEHgEJIb писал(а):

$3a-2b+c-4=0$

А вот это откуда?!

Сам уже понял, что написал бред.
Azog, вы утверждаете что зря, а незваный гость говорит что это теорема Ферма

[Azog]

дык, малая, а не большая.
Она как раз и говорит, что во внутренней точке экстремума у гладкой функции производная обращается в нуль.
Вы кстати и большую теорему неправильно сформулировали)

[KPEHgEJIb]

Azog, стоп, стоп. Гладкой функция - это ещё какая? Да я уверен в том что неправильно написал, потому что не имею представления ни о малой ни о большой

[Azog]

Гладкая - то бишь дифференцируемая. Вы бы все таки матчасть почитали, а? Рекомендую Фихтенгольца для ознакомления.

[Бодигрим]

KPEHgEJIb писал(а):

Зря!!! Это — теорема Ферма.
:shock: Теорема Ферма ведь $a^n+b^n+c^2$ ?!

Сами-то поняли, что сказали? Что "$a^n+b^n+c^2$"?

Теорем Ферма существует несколько. Есть среди них и такая, которая относится к матанализу.

Цитата:

У касательной только одна точка касания...

Практически у любой касательной ровно одна точка касания. Может быть вы хотели сказать, что касательная с соответствующим угловым коэффициентом существует только в одной точке, а значит уравнение на $x$ имеет ровно 1 корень?

Цитата:

Но проверка не проходит

А вы уверены, что верно разрешили записанную систему? По-моему, нет.

[KPEHgEJIb]

Azog, дело в том, что это задача из гос. экзамена (школьного) прошлого года. А у нас в программе нету ни Ферма, ни гладких функций, ни Фихтенгольца. То есть она должна решаться опираясь на более примитивные знания.
В противном случае - опять составили задачу не по программе

Бодигрим писал(а):

Может быть вы хотели сказать, что касательная с соответствующим угловым коэффициентом существует только в одной точке, а значит уравнение на $x$ имеет ровно 1 корень?

Это я и хотел сказать

Систему утром тогда перерешаю.
Короче качаю, как посоветовали Azog, Фихтенгольца.

[Azog]

уважаемый, если у Вас в задаче есть производные, то ничего лучше чем прочитать соответствующий раздел в Фихтенгольце - я Вам предложить не могу.

[незваный гость]

KPEHgEJIb писал(а):

У касательной только одна точка касания

Бодигрим писал(а):

Практически у любой касательной ровно одна точка касания. Может быть вы хотели сказать, что касательная с соответствующим угловым коэффициентом существует только в одной точке, а значит уравнение на имеет ровно 1 корень?

Это очень и очень важный момент! Обратите внимание на замечание Бодигрима.

KPEHgEJIb писал(а):

Теорема Ферма ведь

Я знаю по крайней мере три теоремы Ферма. Две из них в теории чисел, и одна в матане. Но я не верю своей памяти.

Теорема Ферма говорит, что если функция дифференцируема в точке экстремума, то её производная в этой точке равна нулю.

KPEHgEJIb писал(а):

Azog, вы утверждаете что зря, а незваный гость говорит что это теорема Ферма

Azog говорит, что Вы действительно зря сомневаетесь.

[bot]

KPEHgEJIb писал(а):

$ax^3+bx^2+cx+1$.

Это заподозрил сразу не дочитав до подтверждения. Исходя отсюда аккуратно учёл все условия и получилась система трёх уравнений - та же самая, что и в корневом сообщении. При решении этой системы получилось a=b=0, c=4, что заведомо не годится.
Видимо в условии что-то не то.