Поиск доказательства, что $x^2-y z \sqrt[n]{4}$ - квадрат

[Феликс Шмидель]

Феликс Шмидель в сообщении #1105817 писал(а):

Существует бесконечное множество простых чисел $p$, удовлетворяющих условиям 1), 2), 3), в силу китайской теоремы об остатках и теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.

Среди простых чисел, удовлетворяющих условиям 1), 2), 3), выберем такое $p$, на которое не делится ִִ$x y z$.

Пусть $k$ - целое число, удовлетворяющее сравнению:

$(x^2+1 )^n \equiv y^n z^n 4 (1+k (z^n-y^n)-k^2 y^n z^n) \mod p$.

Обратим внимание на одну деталь.
Если среди бесконечного множества простых чисел $p$, удовлетворяющих условиям 1), 2), 3), и бесконечного множества целых чисел $k$, удовлетворяющих последнему сравнению, хотя бы одно $p$ разлагается в произведение главных идеалов поля $\mathbb{Q}[g_k]$ (где $g_k=\sqrt[n]{4 (1+k (z^n-y^n)-k^2 y^n z^n)}$), то полученное нами равенство $(\frac{x^2-y z g_k}{\rho_1})_2=-1$ противоречит закону квадратичной взаимности Гекке.

-- Вт июн 07, 2016 15:59:45 --

Причём достаточно, чтобы идеал $\rho_1$ был главным.
Число $p$ не маленькое, поскольку $x y z$ не делится на $p$.
Но может можно зафиксировать $p$ и подобрать такое $k$, чтобы $\rho_1$ был главным идеалом?