Условие конечной порождённости группы

[RrX]

Добрый день!
Дано следующее определение подгруппы порождённой подмножеством.

Цитата:

У свободной подгруппы $F(A)$ на множестве $A$ есть следующее универсальное свойство: для любой группы $G$, для любой функции $f: A \to G$ существует только один гомоморфизм групп $\varphi: F(A) \to G$ такой, что $\varphi(j(a)) = f(a)$, где $j(a)$ - вложение $A$ в $F(A)$($\forall a \in A \ \ \ j(a) = a$).

Далее, подгруппа $\langle A \rangle$ группы $G$ определяется так: пользуясь универсальным свойством свободной группы на множестве $A$ получаем, что для функции-вложения $i:A \to G, i(a) = a$ существует гомоморфизм $\varphi_A: F(A) \to G$ такой, что $\varphi_A(j(a)) = i(a)$. Имеем: функция $\varphi_A: F(A) \to G$ определённая по закону $\varphi(a_1...a_n) = a_1...a_n$, где $a_i$ - либо элемент множества $A$, либо его обратный, есть гомоморфизм групп. Тогда $\langle A \rangle = im \varphi_A$. То есть подгруппа, порождённая подмножеством $A$ в группе $G$, есть образ этого гомоморфизма $\varphi_A$.

Далее, необходимо доказать, что группа $G$ является конечно порождённой тогда и только тогда, когда существует сюръективный гомоморфизм $\varphi: F(\{1, ..., n \}) \to G$. Очевидно(из определений выше), что если группа конечно порождена, то существует сюръективный гомоморфизм $\varphi_A: F(A) \to G$ для некого конечного подмножества $A \subseteq G$. Допустим $|A| = n$. Тогда существует изоморфизм групп $F(\{1, ..., n \}) \to F(A)$. И, следовательно, существует сюръективный гомоморфизм $F(\{1, ..., n \}) \to G$

Как быть дальше? Осталось доказать, что если существует сюръективный гомоморфизм групп $\varphi: F(\{1, ..., n \}) \to G$, то существует сюръективный гомоморфизм групп $\varphi_A: F(A) \to G, \varphi_A(a) = a$ для некого конечного подмножества $A \subseteq G$, то есть группа $G$ является конечно порождённой.

Думаю, что если существует сюръективный гомоморфизм $\varphi: F(\{1, ..., n \}) \to G$, то $\langle \varphi( \{1, ..., n \} ) \rangle = G$, но как это доказать? Далеко не факт, что $|\varphi( \{1, ..., n \} )| = n$, то есть не факт, что $F( \varphi( \{1, ..., n \} ) ) \cong F(\{1, ..., n \})$.