Квантовая механика спин, среднее значение дипольного момента

[watmann]

Здравствуйте,
помогите пожалуйста разобраться с несколькими задачами по квантовой механике (повторяю курс перед экзаменом). Буду очень благодарна за помощь и указания на ошибки.
1. Условие задачи: Перейти в уравнении Дирака для четырехядерной функции $i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=(c\sum\limits_{i=1}^{3}\alpha_{i}(\hat{p}-eA_{i})+m_{0}c^2\alpha_{4}+e\varphi)\Psi$ к нерелятивистскому приближению и получить уравнение Паули для двухядерной функции. Матрицы $\alpha_{i}$ равны:
$\alpha_{i}=\begin{pmatrix} 0& \sigma_{i}& \\ \sigma_{i}& 0& \end{pmatrix}$, $i=1,2,3$
$\alpha_{4}=\begin{pmatrix} I& 0& \\ 0& -I& \end{pmatrix}$.

Решение:
Я так поняла что это задача на спиноры, поэтому волновую функцию ищу в виде: $\Psi=e^{-\frac{im_{0}c^2t}{\hbar}}\begin{pmatrix} \Phi& \\ \Theta& \end{pmatrix}$
Подставив эту функцию в уравнение, которое дано по условию и подставив туда все $\alpha$-ы, я получила следующее:
$m_{0}c^2\Phi+i\hbar\frac{\partial\Phi}{\partial t}=c\sum\limits_{i=1}^{3}\hat{\sigma_{i}}(\hat{p_{i}}-eA_{i})\Theta+e \varphi I\Phi$
$m_{0}c^2\Theta+i\hbar\frac{\partial\Theta}{\partial t}=c\sum\limits_{i=1}^{3}\hat{\sigma_{i}}(\hat{p_{i}}-eA_{i})\Phi-e \varphi I\Theta$

Я не понимаю что там будет при взаемодействии с единичной матрицей $I$.

В итоге (по Гречко) должно выйти следующее:

$i\hbar\frac{\partial\Phi}{\partial t}=c\sum\limits_{i=1}^{3}\hat{\sigma_{i}}(\hat{p_{i}}-eA_{i})\Theta+e\varphi\Phi$
$2m_{0}c^2\Theta+i\hbar\frac{\partial\Theta}{\partial t}=c\sum\limits_{i=1}^{3}\hat{\sigma_{i}}(\hat{p_{i}}-eA_{i})\Phi+e\varphi\Theta$

Почему я заговорила о непонимании единичной матрицы мной - потому что не могу понять куда делось $m_{0}c^2\Phi$ из первого уравнения, почему во втором появилась 2 и минус стал плюсом.
Спасибо за помощь.

2. Условие: Электрон движется в направлении оси $O y$ в однородном магнитном поле с индукцией Β, паралельно оси $O z$. Спин электрона параллелен В. В момент $t=0$ при $y=0$ он попадает в дополнительное однородное магнитное поле с индукцией Β', направленной вдоль $Ox$. Определить вероятность того, что при выходе из допольнительного поля в момент $t$ в точке $y=l$ направление спина электрона будет обратно первоначальному.

Решение:

$i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi+\mu_{Б}(B\hat{\sigma_{z}}+B`\hat{\sigma_{x}})$ (1)
Ищем волновую функцию в виде:
$\Psi=e^{i(ky-\omega t)}(a(t)\alpha(\sigma)+b(t)\beta(\sigma))$(2)
При этом
$\hbar\omega_{0}=\frac{\hbar^2k^2}{2m}$ (3)
Подставим эту функцию (2) в уравнение (1) получаем два уравнения для а и b:
$i\hbar\frac{\partial a}{\partial t}\alpha(\sigma)=\mu_{Б}Ba(t)\alpha(t)+\mu_{Б}B`b(t)\beta(t)+a(t)\alpha(t)$
$i\hbar\frac{\partial b}{\partial t}\beta(\sigma)=\mu_{Б}Bb(t)\beta(t)+\mu_{Б}B`a(t)\alpha(t)$

Однако в Гарячко $\alpha(\sigma)$ и $\beta(\sigma)$ как-то сокращаются.

Не могу понять - они их как-то приравнивают или что? Если приравнивают, то по какому праву.
Спасибо за помощь

3. Условие: Для стационарных состояний атома водорода с $n=2$ и $n=3$ найти такие суперпозиции

$$\psi_{nlm}$$

, в которых среднее значение проекции электрического дипольного момента на какое-нибудь направление максимально, и вычислить эту величину.

Решение:
Так как мы знаем, что $\vec{d}=-e\vec{r}$, то

$$\bar{d_{x}}=-e\bar{x}$$

и аналогично для $y,z$.
Находим среднее по класическому правилу:
$\bar{x}=\int\limits_{}^{}\Psi^{*} x \Psi dV$
Однако при подсчете интеграла оно всегда дает 0 (из-за угловой зависимости волновой функции). Посомтрела в литературе - так и должно быть средний дипольный момент должен быть нулевой. Решила, что неправильно поняла условие с суперпозицией функций. Однако совсем не представляю как найболее оптимально и правильно. Если у вас есть какие-то идеи или подсказки - буду очень благодарна.

Спасибо за помощь.

4. Также очень хотелось бы где-то найти примеры из теории представлений по-сложнее, чем просто переход из координатного в импульсное или энергетическое и наоборот.

Спасибо за помощь.

[Alex-Yu]

watmann в сообщении #1126839 писал(а):

Я так поняла что это задача на спиноры, поэтому волновую функцию ищу в виде: $\Psi=e^{-\frac{im_{0}c^2t}{\hbar}}\begin{pmatrix}
\Phi& \\
\Theta&
\end{pmatrix}$
Подставив эту функцию в уравнение, которое дано по условию и подставив туда все $\alpha$-ы, я получила следующее:
$m_{0}c^2\Phi+i\hbar\frac{\partial\Phi}{\partial t}=c\sum\limits_{i=1}^{3}\hat{\sigma_{i}}(\hat{p_{i}}-eA_{i})\Theta+e \varphi I\Phi$
$m_{0}c^2\Theta+i\hbar\frac{\partial\Theta}{\partial t}=c\sum\limits_{i=1}^{3}\hat{\sigma_{i}}(\hat{p_{i}}-eA_{i})\Phi-e \varphi I\Theta$

Во-первых, нужно убрать $m_{0}c^2\Phi$, что делается подстановкой $\Phi,\Theta = \Phi',\Theta' e^{i\omega t}$ с подходящей $\omega$. Во-вторых нужно учесть, что в представлении Дирака-Паули верхние две компоненты четырехкомпонентного спинора много больше нижних двух компонент. Исключив за счет этого нижню компоненту, получите уравнение Паули. У Вас, кстати, знак перепутан в одном месте (найдите в каком), даже в двух.

-- Вс май 29, 2016 17:12:18 --

watmann в сообщении #1126839 писал(а):

Подставив эту функцию в уравнение, которое дано по условию и подставив туда все $\alpha$-ы, я получила следующее:
$m_{0}c^2\Phi+i\hbar\frac{\partial\Phi}{\partial t}=c\sum\limits_{i=1}^{3}\hat{\sigma_{i}}(\hat{p_{i}}-eA_{i})\Theta+e \varphi I\Phi$
$m_{0}c^2\Theta+i\hbar\frac{\partial\Theta}{\partial t}=c\sum\limits_{i=1}^{3}\hat{\sigma_{i}}(\hat{p_{i}}-eA_{i})\Phi-e \varphi I\Theta$

Даже хуже, чем я выше написал (я, было, не заметил, что осциллирующую экспоненту Вы уже подставили). А вот не получается так. Если действительно правильно подставить.

-- Вс май 29, 2016 16:53:25 --

watmann в сообщении #1126839 писал(а):

уравнение Паули для двухядерной функции.

Что еще за "двухядерная функция"???? Двухкомпонентная!!! Оно конечно, можно, в принципе, и свои названия изобретать, но это очень дурной тон.

-- Вс май 29, 2016 16:58:56 --

watmann в сообщении #1126839 писал(а):

Решила, что неправильно поняла условие с суперпозицией функций. Однако совсем не представляю как найболее оптимально и правильно. Если у вас есть какие-то идеи или подсказки - буду очень благодарна.

Функции, отличающиеся лишь квантовым числом $m$ соответствуют одной энергии (вырождение). Поэтому они ничем не лучше любой линейной комбинации этих функций. Т.е. $\sum_m a_m \Psi_{n,l,m}$. Числа $a_m$ должны удовлетворять условию, что такая линеная комбинация нормирована. Осталось подобрать такие $a_m$ (при соблюдении условия), что среднее значение эл.дип. момента максимально. Банальная задачка на условный максимум (в данном случае сводится к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), причем, в силу специфического вида этой СЛАУ, банально решаемой СЛАУ).

[Red_Herring]

То же, что скаюзал Alex-Yu по первой задаче: у Дирака в энергетическом спектре есть щель $[-mc^2,mc^2]$; $\phi$ размывает ее края. В нерятивистском пределе $c \gg 1$ щель превращается в пропасть и чтобы в нее не свалиться мы сдвигаемся поближе к ее краю; мы выбираем верхний. Другими словами заменяем $\phi$ на $\phi-mc^2$. После чего продолжаем считать все "нормальным", кроме $c \gg 1$.

[AnatolyBa]

Кажется, у watmann не получается расписать $m_0 c^2 \alpha_4 \Psi$ по компонентам. А почему? В чем трудность? Ведь члены с $\alpha_i$ расписали.
По второй задаче, watmann что такое $\alpha(\sigma)$, $\beta(\sigma)$ ? И почему они вначале записаны как функция от $\sigma$ (кстати, что это), а потом - то от $\sigma$ то от $t$?

[Alex-Yu]

AnatolyBa в сообщении #1126948 писал(а):

Кажется, у watmann не получается расписать $m_0 c^2 \alpha_4 \Psi$ по компонентам.

Угу. А еще не получается правильно продифференцировать произведение.

[watmann]

Alex-Yu в сообщении #1126907 писал(а):

Даже хуже, чем я выше написал (я, было, не заметил, что осциллирующую экспоненту Вы уже подставили). А вот не получается так. Если действительно правильно подставить.

Да, я уже нашла что я там совсем неправильно подставила. Спасибо. Теперь всё хорошо сошлось.

Alex-Yu в сообщении #1126907 писал(а):

Функции, отличающиеся лишь квантовым числом $m$ соответствуют одной энергии (вырождение). Поэтому они ничем не лучше любой линейной комбинации этих функций. Т.е. $\sum_m a_m \Psi_{n,l,m}$. Числа $a_m$ должны удовлетворять условию, что такая линеная комбинация нормирована. Осталось подобрать такие $a_m$ (при соблюдении условия), что среднее значение эл.дип. момента максимально. Банальная задачка на условный максимум (в данном случае сводится к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), причем, в силу специфического вида этой СЛАУ, банально решаемой СЛАУ).

Спасибо. Сейчас попробую всё ручками сделать.

AnatolyBa в сообщении #1126948 писал(а):

Кажется, у watmann не получается расписать $m_0 c^2 \alpha_4 \Psi$ по компонентам. А почему? В чем трудность? Ведь члены с $\alpha_i$ расписали.

Я просто неверно переписала изначальное уравнение в тетрадь, неправильно подставила (не туда) и понеслось. Теперь всё хорошо - я уже нашла ошибку Спасибо.

AnatolyBa в сообщении #1126948 писал(а):

По второй задаче, watmann что такое $\alpha(\sigma)$, $\beta(\sigma)$ ? И почему они вначале записаны как функция от $\sigma$ (кстати, что это), а потом - то от $\sigma$ то от $t$?

$\sigma$- идея была в том, что бы таким образом учесть существование спина (матрицы Паули, т.е. оператор спина для электрона).
С изменением зависимостей я приношу извинения. Ошиблась когда писала, перепутала a и $\alpha$ и b/$\beta$ соответсвенно, а на предпросмотре не заметила. Не стоит писать на форумах в три часа ночи Правильно вот так:
$ i\hbar\frac{\partial a}{\partial t}\alpha(\sigma)=\mu_Б(B a(t)\alpha(\sigma)+B` b(t)\beta(\sigma))$
$i\hbar\frac{\partial b}{\partial t}\beta(\sigma)=\mu_Б(-B b(t)\beta(\sigma)+B`a(t)\alpha(\sigma))$

[AnatolyBa]

И все-таки, что такое $\alpha(\sigma)$, $\beta(\sigma)$ ? Запись $(\sigma)$ говорит о том, что $\sigma$ это аргумент функции. Это как?
Ладно, я полагаю имеется в виду следующее. Функция $\Psi$ это двухкомпонентный спинор и ищется в виде суммы двух векторов, один - собственное состояние для спина $\frac{1}{2}$, второй для спина $-\frac{1}{2}$. Т. е. $\alpha=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\beta=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$ (без всяких $\sigma$ в качестве аргумента). Тогда, если вы подставите это все в уравнение Паули, которое вы написали и распишите по компонентам - то и получите дифференциальные уравнения для $a(t)$, $b(t)$, почти как вы написали в последнем посте, но конечно без $\alpha(\sigma)$, $\beta(\sigma)$
Впрочем, может быть вы имели в виду что-то иное?

[Alex-Yu]

AnatolyBa в сообщении #1127448 писал(а):

Т. е. $\alpha=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\beta=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$ (без всяких $\sigma$ в качестве аргумента).

В принципе матрицы-столбцы можно рассматривать как функции дискретного аргумента.

[watmann]

Цитата:

Т. е. $\alpha=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\beta=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$ (без всяких $\sigma$ в качестве аргумента). Тогда, если вы подставите это все в уравнение Паули, которое вы написали и распишите по компонентам - то и получите дифференциальные уравнения для $a(t)$, $b(t)$, почти как вы написали в последнем посте, но конечно без $\alpha(\sigma)$, $\beta(\sigma)$

Спасибо большое - это действительно прояснило ситуацию!