Мощность классов эквивалентности

[pink Elephant]

Помогите разобраться с задачей
Отношение эквивалентности на $P(\mathbb{R})$ задано следующим образом: $X\sim Y \leftrightarrow \left\lvert X\triangle Y\right\rvert < \omega$. Какова мощность классов эквивалентности?
Все конченые множества входят в один класс эквивалентности. А насчет счетных и более уже сложнее и не совсем понятно. Смог оценить снизу континуумом, а вот с оценкой сверху возникли проблемы. Так же преподаватель намекнул, что в итоге вроде бы мощность будет гиперконтинуум. Идей совсем нету.

[arseniiv]

Вспомним, что $X\vartriangle Y=Z\Leftrightarrow X\vartriangle Z=Y$, так что в один класс эквивалентности вместе с $X$ входят все $X\vartriangle Z$, где $Z$ — конечные подмножества $\mathbb R$.

Действительно, оценка снизу в континуум получается тогда легко: берём за $Z$ все одноэлементные подмножества $\mathbb R$. Оценка сверху в $2^\mathbb R$ тоже тривиальна. А вот чтобы точнее…

[NSKuber]

pink Elephant в сообщении #1129210 писал(а):

Какова мощность классов эквивалентности?

Имеется в виду мощность множества всех классов эквивалентности?
Попробуйте доказать, что мощность каждого класса эквивалентности равна континууму. Тогда вам потребуется не меньше гиперконтинуума таких классов, чтобы получить гиперконтинуальное множество всех подмножеств $\mathbb{R}$.

(Оффтоп)

pink Elephant в сообщении #1129210 писал(а):

Все конченые множества входят в один класс эквивалентности.

За что вы их так...

[DeBill]

Конечных подмножеств $Z$ у $\mathbb{R}$ - континуум. Как отметил arseniiv, множество классов экв-ти есть фактор $2^{\mathbb{R}}$ по $\{Z\}$, что равномощно $2^{\mathbb{R}}$...

[arseniiv]

del

[pink Elephant]

NSKuber в сообщении #1129238 писал(а):

Имеется в виду мощность множества всех классов эквивалентности?

Да.

NSKuber в сообщении #1129238 писал(а):

Попробуйте доказать, что мощность каждого класса эквивалентности равна континууму.

Это доказать не сложно, но как доказать что всего классов эквивалентности континуум штук? И правильно я понимаю, что только в этом случае мощность множества всех множеств будет равна гиперконтинууму?

[NSKuber]

pink Elephant в сообщении #1129264 писал(а):

Это доказать не сложно, но как доказать что всего классов эквивалентности континуум штук? И правильно я понимаю, что только в этом случае мощность множества всех множеств будет равна гиперконтинууму?

Нет, если классов эквивалентности будет континуум, и каждый класс будет иметь мощность континуума (что мы уже, вроде, выяснили), то мощность множества всех множеств будет тоже континуумом. Это следует из следующего утверждения: если $X, Y$ - бесконечные множества, то мощность их декартова произведения совпадает с мощностью наибольшего из них. Из этого же утверждения и того, что мы знаем мощность каждого класса и мощность множества всех множеств выводится, что классов эквивалентности должно быть гиперконтинуум.

[pink Elephant]

NSKuber в сообщении #1129272 писал(а):

Из этого же утверждения и того, что мы знаем мощность каждого класса и мощность множества всех множеств выводится, что классов эквивалентности должно быть гиперконтинуум.

Разве имеет какое-то влияние количество элементов в классе, если нам важно только количество всех классов?

arseniiv в сообщении #1129229 писал(а):

Оценка сверху в $2^\mathbb R$ тоже тривиальна.

Возможно тривиально, но я не могу построить функцию из множеств всех подмножеств $\mathbb{R}$ в множество классов эквивалентностей.

[arseniiv]

pink Elephant в сообщении #1129279 писал(а):

Возможно тривиально, но я не могу построить функцию из множеств всех подмножеств $\mathbb{R}$ в множество классов эквивалентностей.

Самое большое число классов может получиться, если мы в каждый засунем только один элемент. Тогда функция будет $A\subset\mathbb R\mapsto\{A\}$.

-- Вс июн 05, 2016 20:28:52 --

Вообще же я выше писал о размере самих классов, но это, как выяснилось ниже, не то.

[NSKuber]

pink Elephant в сообщении #1129279 писал(а):

Разве имеет какое-то влияние количество элементов в классе, если нам важно только количество всех классов?

Каждый класс можно биективно отобразить на, например $\mathbb{R}$. Тогда множество всех подмножеств легко связывается биекцией (то есть равномощно) с декартовым произведением фактор-множества на это самое $\mathbb{R}$. Мощность множества всех подмножеств мы знаем, мощность $\mathbb{R}$ тоже. С помощью упомянутого утверждения отсюда легко находится мощность фактор-множества (которая нам и нужна).

[pink Elephant]

NSKuber в сообщении #1129284 писал(а):

множество всех подмножеств легко связывается биекцией (то есть равномощно) с декартовым произведением фактор-множества на это самое $\mathbb{R}$

Я просто не понимаю зачем мы таскаем это самое $\mathbb{R}$, которое мощность каждого класса. По сути, когда мы строим биекцию в декартово фактор-множество и $\mathbb{R}$, то мы строим биекцию в само фактор-множество и $\mathbb{R}$ тут немного лишнее. Просто это и есть смысл моего вопроса -- каким образом строить эту биекцию? Мне не понятен принцип. В разные классы эквивалентности должны входить разные множества, а значит множество всех подмножеств тут непонятно каким образом отображать, если в нем могут одинаковые элементы в разные подмножества входить.

[NSKuber]

Вот что я имею в виду: пусть $E$ - множество классов эквивалентности. Тогда очевидно строится биекция следующих множеств: $P(\mathbb{R})$ и $\{(A,B):A \in E, B \in A\}$ - каждому элементу $B\in P(\mathbb{R})$ мы просто сопоставляем пару, первый элемент которой - класс эквивалентности $A$, в котором $B$ лежит, а второй - само $B$. Пишем: $|P(\mathbb{R})| = |\{(A,B):A \in E, B \in A\}| = |\{(A,x):A \in E, x \in \mathbb{R}\}|$. В последнем равенстве мы воспользовались тем, что каждый класс эквивалентности $A$ равномощен $\mathbb{R}$. Теперь замечаем, что $\{(A,x):A \in E, x \in \mathbb{R}\} = E\times \mathbb{R}$. То есть имеем $|P(\mathbb{R})| = |E \times \mathbb{R}|$, откуда легко получается гиперконтинуальность $E$.

[pink Elephant]

Спасибо большое, разобрался полностью.