Норма линейного оператора

[Otta]

Otta в сообщении #1128741 писал(а):

замкнуто.

Antonij
Все слова зачем-то были.
Пожалуйста, поймите зачем, самостоятельно.

[Antonij]

А почему множество всех возможных c замкнуто?

[Otta]

А по определению. Знаете определение? любое? через последовательности, например? проверьте.

[Antonij]

Если для $c_i$ верно, то и для с неравенство верно. Зачем тогда инфимум пишут, людей смущают...
Спасибо.

[Otta]

Ну мож, потому и пишут, из соображений, что инфимум для ограниченных точно есть, а минимум еще поди обоснуй.
Сила традиций.

(Оффтоп)

Чтобы инфимум с минимумом отличался на

Antonij в сообщении #1128730 писал(а):

должен быть 2, а написано 6/3

- это сильно, конечно.
И по терминологии: слово "корректно" означает в точности "правильно". Это почти буквальное заимствование из французского, где появилось, в свою очередь, из латыни.

[Mikhail_K]

Otta в сообщении #1128741 писал(а):

Инфимум (минимум) по $c$ ищется. На числовой прямой. В одномерном пространстве. Множество - ограничено снизу, замкнуто. Ну и непусто.

Да, конечно же Вы правы. Вот ведь, всегда думал что там именно инфимум, а не минимум.

[ewert]

Дело в том, что есть два более-менее эквивалентных определения нормы оператора. Одно -- то, которое в стартовом посте. Другое (логически выглядящее проще) -- через супремум отношения норм.

Так вот, во втором должен стоять именно супремум. То, что в конечномерном случае он же и максимум -- уже некоторая теорема.

В первом же что инфимум, что минимум -- более-менее безразлично. Независимо от размерности. Но! только если оператор ограничен. А если нет?...

Тогда минимума просто не существует. А вот инфимум -- вполне себе существует. И правильный.

[Antonij]

Ясно. Значит в пространстве непрерывных линейных операторов можно писать минимум.

[ewert]

Otta в сообщении #1128741 писал(а):

Множество - ограничено снизу, замкнуто.

Мне вот замкнутость этого множества вовсе не кажется заранее очевидной. Зато безо всяких последовательностей очевидно, что его инфимум в нём же и сидит. Поскольку если бы на некотором векторе неравенство с инфимумом нарушалось бы, то оно (будучи нестрогим!) нарушалось бы с некоторым запасом -- и, следовательно, нарушалось бы и для некоторого множителя, большего, чем инфимум.

[Antonij]

Я понимаю рассматриваемое множество имеет вид $[a,\infty)$? Т.е. замкнутое.

[ewert]

Да, в конце концов замкнутое, конечно. Но это надо доказывать. И простейший способ доказательства -- ссылка на то, что оно содержит свой инфимум.

[g______d]

ewert в сообщении #1128800 писал(а):

И простейший способ доказательства -- ссылка на то, что оно содержит свой инфимум.

Дело вкуса, но, по-моему, проще сказать, что это пересечение замкнутых множеств (ну и что, что не счётное).

[ewert]

(Оффтоп)

g______d в сообщении #1129056 писал(а):

но, по-моему, проще сказать,

Вы не заметили шутки юмора. Которая заключалась в том, что исходное, топикстартёрное утв., было гораздо проще и очевиднее, чем некоторые его д-ва