Иррациональные числа и неоднозначность определений

[AD]

ZVS.

ZVS писал(а):

Вы будете долго смеяться

Ничего смешного. Что "функция - это соответствие, закон, правило, ...", учат в седьмом классе среднеобщеобразовательной школы. Я к тому это всё говорю, что вы ставите проблемы из области логики, но глубина вашего понимания основ математики непропорционально мала. А раз вы не понимаете, что данное вами определение функции - лишь пустой звук -- то очень маловероятно, что вы поймете правильный ответ на ваш вопрос. И что ваш вопрос - это по сути такой же пустой звук. Размахивание неопределенными понятиями. Да, Фихтенгольц вот такое "определение" дает. А Хаусдорф на таком же уровне дает "определение" множества в своей книжке. Это называлось "наивная теория множеств". Но с тех пор математики научились четко и внятно давать определения. Правильно незваный гость пишет.

[Echo-Off]

Профессор Снэйп писал(а):

А $\pi^e$ --- точно иррациональное число?

Профессор Снэйп, Вы воспользовались числом $\pi^e$ вне очереди! Его очередь прошла в 15:30!
Тьфу, чёрт, я же и сам сейчас его использовал
Вообще, не знаю, иррационально оно или нет. Но так как каждое сечение определяет вещественное число, в том числе рациональное, и автор говорит, что одновременно существует только одно сечение, то я подумал, что автор хочет сказать, что все числа существуют по очереди, а не только иррациональные.

[ZVS]

Извиняюсь.Я тут немного приболел.Мироздание, что ли сопротивляется.
Буду краток.
Тут дело в чем, как я понимаю.Сечение определяет один и только один элемент.
Если некое правило задает ,определяет множество разных элементов соответствующих правилу,то оно задает их все сразу,одновременно.Каждый элемент.А сечение, только один элемент.Для множества элементов, множество правил,каждому своё.

[PAV]

Не вижу ровно никакой проблемы.

А потенциальных причин непонимания вижу две. Во-первых, термин "одновременно" в данном контексте смысла не имеет, математические объекты существуют вне времени. Во-вторых, Вы неформально употребляете термин "правило". Если "правилом" называть отдельное сечение, то "правил" будет много. А если назвать "правилом" способ определения вещественных чисел через сечения "вообще", то тогда правило одно. Но в любом случае это совсем не такого уровня вопросы, об которые стоит спотыкаться.

[AD]

Напомните, пожалуйста, кто это за персонаж такой на московском мехмате был ?...

Ну которой на фразу экзаменуемого типа "возьмём два вектора" сразу уточнял - "одновременно или по очереди?"

[Someone]

ZVS писал(а):

Тут дело в чем, как я понимаю.Сечение определяет один и только один элемент.

Одно конкретное сечение определяет один элемент.
Определение сечения определяет их (сечения) все сразу. Не одно сечение, а все.

[ZVS]

Ну,продолжим.А здоровье мое не.. нет не то.
Кстати, надеюсь многие из читающих тему догадываются,а некоторые знают наверняка, что сечение определяет не само иррациональное число, а так сказать место, где оно может и должно быть.Каждое отдельно.
Это как допустим, шахматная доска, где можно зная координаты поглядеть и обнаружить, что фигура там где и должна быть.Затем взяв другие координаты, снова поглядеть и снова убедиться, что и другая на месте.Вот только вопрос о доказательстве, существуют ли ВСЕ(каждые) фигуры, кроме той на которую Вы смотрите,в данный момент,как минимум остается открытым!А открытым подобные вопросы, можно оставлять только в надежде когда нибудь на них ответить.Некоторые предпочнут не видеть никакой проблемы.Их право.Однако когда смешаны в кучу вообщето разные множества по определениям их,делать вид, что это не важно, значит когда-нибудь ткнуться лбом в стену.Что и произошло с теорией множеств..
P.S.И будет происходить.

[bot]

ZVS писал(а):

Кстати, надеюсь многие из читающих тему догадываются,а некоторые знают наверняка, что сечение определяет не само иррациональное число, а так сказать место

Начинаю догадываться, что не очень это хорошее это место, если без "так сказать" не произносится.
А вообще-то я с первого курса усвоил, что всякое сечение множества Q однозначно определяет не "так сказать", а действительное число, не обязательно иррациональное.
Может быть я что-то не то усвоил?

[Brukvalub]

ZVS писал(а):

Вот только вопрос о доказательстве, существуют ли ВСЕ(каждые) фигуры, кроме той на которую Вы смотрите,в данный момент,как минимум остается открытым!

Однажды я шел по пустыне, и на меня напал пустынный лев. От испуга я крепко зажмурился и перестал видеть льва. Я перестал видеть льва и опасность миновала. Так выпьем же таблеточек за мое чудесное спасение!

[ZVS]

Кажется, никто так и не понял, что есть предмет обсуждения.
Впрочем это было ожидаемо.
Итак, что мы имеем, если определяем по некоему правилу что либо в единственном числе и только в единственном?Только то самое, что и определили
Теперь подумайте, как так легко и просто обьявить на основании определения одного элемента, очевидное существование бесконечного множества определяемых подобным образом элементов?!Да только при условии, что все эти элементы уже определены!
То есть должно быть одно правило, для определения всех(каждого) элементов сразу!
Например рациональные число определены именно так.

Цитата:

Рациона́льное число́ — число, представляемое обыкновенной дробью , где m — целое число, n — натуральное число. При этом число m называется числителем, а число n — знаменателем дроби .

Здесь уже существует множество натуральных и целых чисел и правило обращено именно к элементу множества, а не к единственному существующему только в виде примера.
Вопросов нет.
А иррациональные не так.И снова вопросов нет.

[AD]

ZVS писал(а):

Кстати, надеюсь многие из читающих тему догадываются,а некоторые знают наверняка, что сечение определяет не само иррациональное число, а так сказать место

Знаете, ZVS, по определению сечение и есть действительное число. Слова типа "догадываются" и "знают наверняка" неуместны, когда есть внятное определение.

ZVS писал(а):

Здесь уже существует множество натуральных и целых чисел и правило обращено именно к элементу множества, а не к единственному существующему только в виде примера.

Множество $2^\mathbb{Q}$ подмножеств множества $\mathbb{Q}$ видели когда-нибудь? Пары его элементов образовать можете? Одновременно или по очереди?

Рациональные числа - пары целых. Действительные числа - пары множеств рациональных. Не вижу разницы в подходах.

[Посторонний]

ZVS писал(а):

Ну,продолжим.А здоровье мое не.. нет не то.
Кстати, надеюсь многие из читающих тему догадываются,а некоторые знают наверняка, что сечение определяет не само иррациональное число, а так сказать место, где оно может и должно быть.Каждое отдельно.
Это как допустим, шахматная доска, где можно зная координаты поглядеть и обнаружить, что фигура там где и должна быть.Затем взяв другие координаты, снова поглядеть и снова убедиться, что и другая на месте.Вот только вопрос о доказательстве, существуют ли ВСЕ(каждые) фигуры, кроме той на которую Вы смотрите,в данный момент,как минимум остается открытым!А открытым подобные вопросы, можно оставлять только в надежде когда нибудь на них ответить.Некоторые предпочнут не видеть никакой проблемы.Их право.Однако когда смешаны в кучу вообщето разные множества по определениям их,делать вид, что это не важно, значит когда-нибудь ткнуться лбом в стену.Что и произошло с теорией множеств..
P.S.И будет происходить.

ну, допустим.

Есть рациональные числа, мы обнаруживаем, что рационального числа, квадрат которого
равен 2, не существует. Но есть рациональные числа, квадрат которых близок к 2...
Считаем, что если квадрат числа близок к 2, то само число близко к некоторому
несуществующему числу, квадрат которого в точности равен 2. Близкие числа есть с обоих
сторон, справа и слева, а самого числа нет. Дырка... Вообще, дырок много получается...
Начинаем считать эти дырки числами... (что есть дырка? дырка - это сечение)

Тут так же как с тканью: если сама ткань существует, то и дырки в ней тоже существуют...
Все сразу. (Или я чего-то не понимаю и аналогия с тканью не верна?)

PS. На наше счастье дырки оказались такими, что их можно затыкать одним элементом

PPS. Вообще, я не верю, что ответ на ваши вопросы о существовании может быть получен...
разве что в будущем

Добавлено при редактировании.

Если есть желание можете попробовать сделать рассуждения о существовании "точными"...
примерно так же, как рассуждения о дырках стали точными при использовании
понятия "сечение"... (можно жизнь на это убить и ничего не получить... и не факт, что это
вопрос, которым стоит заниматься, тратить жизнь на него)

[AD]

Посторонний писал(а):

Тут так же как с тканью: если сама ткань существует, то и дырки в ней тоже существуют...
Все сразу. (Или я чего-то не понимаю и аналогия с тканью не верна?)

Нет, ну понимаете, ну чтобы ввести ткань, уже нужно иметь объемлющее пространство, в котором она расположена. А мы это объемлющее пространство еще только собираемся сотворить впервые в истории. Так что дырок пока что никаких нет. Просто есть неполное упорядоченное поле. Но чем именно его пополнять - этого пока что еще нет.

Добавлено спустя 2 минуты 5 секунд:

Посторонний писал(а):

Вообще, я не верю, что ответ на ваши вопросы о существовании может быть получен...

А я не верю, что этот вопрос вообще может быть сформулирован. В рамках математики, я имею ввиду. То есть пока что это бессвязное дилетантское бормотание. Фразам не придается точный смысл.

[ZVS]

AD писал(а):

Знаете, ZVS, по определению сечение и есть действительное число. Слова типа "догадываются" и "знают наверняка" неуместны, когда есть внятное определение.

Интересно.Сссылаетесь на заявленный в теме предмет обсуждения,обьявляя его обсуждение неуместным?Что то это мне напоминает.
А по существу,если есть по определению сечение-иррациональное число ,единственное среди рациональных, то ведь тогда любое число отличное от данного сечения,должно быть рациональным? Это не так.

AD писал(а):

ZVS писал(а):

Здесь уже существует множество натуральных и целых чисел и правило обращено именно к элементу множества, а не к единственному существующему только в виде примера.

Множество $2^\mathbb{Q}$ подмножеств множества $\mathbb{Q}$ видели когда-нибудь? Пары его элементов образовать можете? Одновременно или по очереди?

Рациональные числа - пары целых. Действительные числа - пары множеств рациональных. Не вижу разницы в подходах.

Ну так и Вы говорите о уже имеющихся множестве и операциях с подмножеством.В чем смысл возражения?
Кстати о подмножествах.Я часто встречал простое определение множества иррациональных чисел как подмножества действительных.
Ничего странного не находите?Определить сначала действительные числа, как совокупность рациональных и иррациональных, а потом использовать определение множества иррациональных чисел, как части этой совокупности.Впрочем,это не столь существенно..

[Brukvalub]

ZVS писал(а):

Я часто встречал простое определение множества иррациональных чисел как подмножества действительных. Surprised
Ничего странного не находите?Определить сначала действительные числа, как совокупность рациональных и иррациональных, а потом использовать определение множества иррациональных чисел, как части этой совокупности.Впрочем,это не столь существенно..

Действительные числа никогда не определяются как совокупность рациональных и иррациональных. Интересная у Вас метода - сначала приписать математикам глупости, которых они никогда не говорили, а затем критиковать их за эти несказанные глупости.