Теорема Банаха о неподвижной точке

[fronnya]

Формулировка такая: если $A$ -- сжатый оператор в полном метрическом пространстве $X$, то у него существует единственная неподвижная точка, т.е. уравнение $Ax^*=x^*$ имеет единственное решение.
Прошу помочь разобраться с доказательством. Его можно разбить на 4 этапа, первые два я приведу вкратце, потому что я уже с ними разобрался:

1) Берем $\forall x\in X$ и строим последовательность $x_1=Ax, x_2=Ax_1,...,x_n=Ax_{n-1},...$
2) Показываем, что она сходится, а значит является фундаментальной (так оно и есть)
3) Дальше нужно показать существование неподвижной точки. Т.к. $X$ -- полное метрическое пространство, то любая фундаментальная последовательность, как и наша, имеет предел: $x_0=\lim\limits_{n\to\infty}x_n$ и на этом этапе нужно показать, что эта самая точка $x_0$ и является неподвижной, т.е. $Ax_0=x_0$ я видел два варианта доказательства этого факта, в одном из них нужно было показать, что $\rho(x_0,Ax_0)=0$, где $\rho(x,y)$ - метрика. Для меня этот вариант кажется более естественным, но как это показать, я не представляю. Второй вариант основан на использовании непрерывности оператора:
$\lim\limits_{n\to\infty} x_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty} Ax_n=A\lim\limits_{n\to\infty} x_n$. Вопрос здесь такой, можно ли считать, что $\lim\limits_{n\to\infty} x_{n+1}=x_0$ ?

[DeBill]

fronnya в сообщении #1128958 писал(а):

что она сходится, а значит является фундаментальной (так оно и есть)

Наоборот.

fronnya в сообщении #1128958 писал(а):

можно ли считать, что $\lim\limits_{n\to\infty} x_{n+1}=x_0$

Докажите (по определению предела), что всегда $\lim\limits_{n \to \infty}^{} x_n = \lim\limits_{n \to \infty}^{} x_{n+1}$ (если, конечно, первый существует)

[fronnya]

DeBill в сообщении #1128961 писал(а):

Наоборот.

Наоборот. Пусть имеется последовательность ${x_n}$ и она сходится, т.е. $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=x_0$ или $\rho(x_0,x_n)<\varepsilon$. Тогда $\rho(x_n,x_m)\leq\rho(x_n,x_0)+\rho(x_m,x_0)<2\varepsilon$

[DeBill]

fronnya в сообщении #1128963 писал(а):

Наоборот.

Вы меня пугаете...
То, что Вы написали, верно (всякая сходящаяся является фундаментальной). Но при чем тут это?
Ведь нам надо ДОКАЗАТЬ сходимость построенной Вами последовательности. И как Вы это будете делать?

[fronnya]

DeBill в сообщении #1128968 писал(а):

И как Вы это будете делать?

fronnya в сообщении #1128958 писал(а):

Прошу помочь разобраться с доказательством. Его можно разбить на 4 этапа, первые два я приведу вкратце, потому что я уже с ними разобрался

Это я к тому, что сходимость построенной последовательности уже доказал и хотел заострить внимание ваше на третьем этапе...

[Someone]

fronnya в сообщении #1128977 писал(а):

Это я к тому, что сходимость построенной последовательности уже доказал

Это нам всем очень интересно, потому что

fronnya в сообщении #1128958 писал(а):

2) Показываем, что она сходится, а значит является фундаментальной

Как Вы доказываете сходимость, не доказывая предварительно фундаментальность последовательности?

[DeBill]

fronnya в сообщении #1128977 писал(а):

на третьем этапе...

Ну, ответ на Ваш вопрос "да".

(Оффтоп)

fronnya в сообщении #1128977 писал(а):

сходимость построенной последовательности уже доказал

Хотелось бы увидеть. Фишка в том, что при доказательстве сходимости здесь мы должны вначале получить фундаментальность ее, и из этого уже сделать вывод о сходимости. Это плохо согласуется с Вашим текстом (п.2)

-- 04.06.2016, 22:07 --

:D

[fronnya]

DeBill в сообщении #1128968 писал(а):

Вы меня пугаете...

Каюсь. Там действительно показывается фундаментальность, я перепутал определения, на втором этапе показывается, что $\rho(x_n,x_{n+1})<\varepsilon$, это и есть фундаментальность, сходимость тут действительно не при чем, извините, что я Вас напугал . Ну кстати, сходимость из фундаментальности не обязательно должна следовать.

-- 04.06.2016, 20:39 --

Но здесь сходимость этой последовательности все таки есть. Она следует из условия, что $X$ -- полное метрическое пространство, т.е. там всякая фундаментальная последовательность сходится.

[DeBill]

fronnya в сообщении #1129002 писал(а):

не обязательно

Вообще говоря, да. Но, к счастью, наше пространство полно...
Ну вот, наконец то в доказательстве начали использовать то, что нам дано. А где задействовали сжимаемость?

fronnya в сообщении #1129002 писал(а):

что $\rho(x_n,x_{n+1})<\varepsilon$, это и есть фундаментальность,

Вообще-то, это не есть фундаментальность...

(Оффтоп)

Ой, плохо Вам скоро будет - на экзамене...

[fronnya]

DeBill в сообщении #1129006 писал(а):

Вообще-то, это не есть фундаментальность...

А что это? Блин, вот теперь я точно запутался.

[DeBill]

fronnya в сообщении #1129017 писал(а):

Блин, вот теперь я точно запутался.

Привет! А кто писал

fronnya в сообщении #1128963 писал(а):

Тогда $\rho(x_n,x_m)\leq\rho(x_n,x_0)+\rho(x_m,x_0)<2\varepsilon$

? (Конечно, это лишь огрызок определения фундаментальности, но существенный такой огрызок... И где у Вас эти $x_n$ и $x_m$?)

[fronnya]

DeBill в сообщении #1129022 писал(а):

А кто писал

Я писал:

fronnya в сообщении #1129002 писал(а):

$\rho(x_n,x_{n+1})<\varepsilon$, это и есть фундаментальность

Тут типа $n=n, m=n+1$.

[DeBill]

Но Вы не пужайтесь: можно показать, что для фундаментальности посл-ти достаточно (но вовсе не необходимо!) получить оценку типа $\rho (x_n,x_{n+1}) < c_n$, такую, что ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_n$ сходится. Видимо, в вашем док-ве именно так и делается.

(Оффтоп)

А определения нАдо знать, однако....

-- 04.06.2016, 23:13 --

fronnya в сообщении #1129027 писал(а):

Тут типа $n=n, m=n+1$.

ВигВам! Вот если бы у вас уже была фундаментальность, Вы бы имели право брать такие $m,n$. А если ее надо доказать - то будьте любезны - по полной программе (ну, или как я написал выше - с помощью рядов)

[fronnya]

DeBill в сообщении #1129028 писал(а):

А если ее надо доказать - то будьте любезны - по полной программе

Что же тогда означает

fronnya в сообщении #1129002 писал(а):

$\rho(x_n,x_{n+1})<\varepsilon$

? Я так и не понял. Вы сказали, что это не есть фундаментальность, но не сказали, что это не есть сходимость.

-- 04.06.2016, 21:21 --

Блиииииин. Вот это фейл, я совсем невнимательный, во втором пункте я показал, что $\rho(x_n,x_{n+p})<\varepsilon, \forall p>0$. А это фундаментальность. Блин, я уже в упор не замечал, что вместо $p$ единицу напечатал... Уже голова не варит.

[DeBill]

fronnya в сообщении #1129036 писал(а):

не сказали, что это не есть сходимость.

Исправляюсь: говорю: это не есть сходимость.
Исправляюсь совсем: это

fronnya в сообщении #1128963 писал(а):

и $\rho(x_0,x_n)<\varepsilon$

тоже не есть сходимость. Это - огрызок из определения сходимости

(Оффтоп)

А Вы точно надо мной не издеваетесь? Пойду ка я посмотрю ваши темы...