Формулировка такая: если

-- сжатый оператор в полном метрическом пространстве

, то у него существует единственная неподвижная точка, т.е. уравнение

имеет единственное решение.
Прошу помочь разобраться с доказательством. Его можно разбить на 4 этапа, первые два я приведу вкратце, потому что я уже с ними разобрался:
1) Берем

и строим последовательность

2) Показываем, что она сходится, а значит является фундаментальной (так оно и есть)
3) Дальше нужно показать существование неподвижной точки. Т.к.

-- полное метрическое пространство, то любая фундаментальная последовательность, как и наша, имеет предел:

и на этом этапе нужно показать, что эта самая точка

и является неподвижной, т.е.

я видел два варианта доказательства этого факта, в одном из них нужно было показать, что

, где

- метрика. Для меня этот вариант кажется более естественным, но как это показать, я не представляю. Второй вариант основан на использовании непрерывности оператора:

. Вопрос здесь такой, можно ли считать, что

?