Боюсь, ничего не получится.
Хорошо. Полезно знать точное решение Вашей задачи, чтобы знать, к чему стремиться. Вот общее решение уравнения гармонических колебаний

:

Циклическая частота пишется так:

(код
\omega), а не так:

.
Сможете Вы определить константы

и

, исходя из начальных условий?
По методу Рунге-Кутта. На каждом шаге Вам надо по известным формулам вычислять числа

(обратите внимание, что их вдвое больше, чем в примере из методички — вероятно, там было уравнение первого порядка). Эти числа дают возможность вычислять

и

для «следующего» значения независимой переменной

, если они известны для значения

:


Так, по шагам, начиная с

и заканчивая

, и получается решение.
Чтобы точность была приемлемой, надо выбрать достаточно малый шаг

независимой переменной. В таком случае шагов будет много. Скажем, для достижения точности порядка

надо взять шаг

, и тогда при

шагов будет

. Так что считать будет точно компьютер, а не Вы. Поэтому от Вас требуется хорошее знание формул, используемых в методе, а не попытки что-то вычислить вручную — этот путь не приведёт к успеху. Хорошей новостью является то, что эти формулы есть в любом учебнике по численным методам, в любом справочнике по математике, и даже в Википедии.