Решение задачи методом рунге кутта

[zaqwsxcde263]

Колебания простейшего гармонического осциллятора описываются следующим уравнением:

$$\frac{d^2x}{dt^2}=-w^2x$$

Заданы начальные условия: $x=0$;
$\frac{dx}{dt}=1$;
($t=0$);
Решить это уравнение при $w=6$ на интервале $0\le t \le 3$
Моё тупиковое решение:
$\frac{dx}{dt}=y$

$\frac{dy}{dt}=-w^2x$

$\frac{dy}{dt}=F(x,y)$ Так было в примере, на котором я разбирал метод

$h=\frac13$

$k_1=\frac13(-36\cdot0)=0$

$k_2=\frac13(-36\xdot (0+\frac16))=-2$

$k_3=\frac13(-36\xdot (0+\frac16))=-2$

$k_4=\frac13(-36\cdot(0+\frac13))=-4$

$y_1=y_0+\frac16(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$

Что делать дальше я не знаю, $y_0$ у меня отсутствует, коэффициенты тоже без $y_0$.

[svv]

$y_0$ — это начальное значение $y$
$y=\frac{dx}{dt}$
Начальное значение $\frac{dx}{dt}$ равно $1$.

А можно Вас проверить? Пусть это маятник. Как его заставили качаться: отклонили в сторону и отпустили, или же толкнули из положения равновесия? Обоснуйте ответ.

[zaqwsxcde263]

Простейший гармонический осциллятор - это груз, висящий на пружине, значит груз подняли до $y_0=1$ а затем отпустили. А если это маятник, то его сначала оттянули, а затем отпустили.

-- 04.06.2016, 18:52 --

Я попробовал посчитать.
t=0;
$k_1=-6\cdot6\cdot0=0$

$k_2=-6\cdot6\cdot1/6=-6$

$k_3=-6$

$k_4=-6\cdot6\cdot1/3=-12$

$y_1=1+1/6\cdot(0-12-12-12)=-5$

Здесь $x$ всегда равен нулю? Ведь мы увеличиваем время, а $x$ не изменяется.

[svv]

zaqwsxcde263 в сообщении #1128896 писал(а):

Простейший гармонический осциллятор - это груз, висящий на пружине, значит груз подняли до $y_0=1$ а затем отпустили. А если это маятник, то его сначала оттянули, а затем отпустили.

К сожалению, нет... Ведь $y=\frac{dx}{dt}$, то есть $y_0=1$ — это ненулевая начальная скорость, а не положение.

Когда грузик на пружинке или на конце маятника оттягивают, но не толкают, этому соответствует начальное условие $x=x_0\neq 0$ и $\frac{dx}{dt}=0$. То есть начальное положение — это не положение равновесия, а $x_0$, но скорость (производная от положения по времени) в начальный момент нулевая. Лишь потом грузик под действием сил разгоняется.

А когда грузик толкают из положения равновесия, то, наоборот, начальное положение $x=0$, а скорость $\frac{dx}{dt}$ ненулевая. Это именно Ваш случай.

Можно сказать, что в первом случае грузику сообщают потенциальную энергию, но не кинетическую, а во втором наоборот.

Разумеется, можно сделать и так, чтобы и начальное положение, и скорость были ненулевыми, то есть оттянуть, да ещё и толкнуть. Это общий случай, но в линейных системах он сводится к суперпозиции двух описанных.

[zaqwsxcde263]

Я всё равно не могу понять, как решить эту задачу

[zaqwsxcde263]

$\frac{dy}{dx}=-36x$

$\int_{}{}dy=\smallint -36x\cdotdx$

$y=-36x\cdot t$

Такой вариант вряд ли подойдёт, потому что изменяться должно время $t$, а $x$ изначально равен 0.
Пожалуйста, объясните как это решать, у меня уже мозги плывут

[DeBill]

zaqwsxcde263 в сообщении #1128699 писал(а):

$\frac{dy}{dt}=F(x,y)$ Так было в примере, на котором я разбирал метод

А Вы уверены? Может, в Вашем примере было $\frac{dy}{dx} = F(x,y)$ ?

-- 04.06.2016, 21:42 --

zaqwsxcde263 в сообщении #1128973 писал(а):

$\int_{}{}dy=\smallint -36x\cdotdx$

$y=-36x\cdot t$

ОЙ! КАКОЕ $t$??? Где $dx$ под знаком интеграла????

[zaqwsxcde263]

Так ведь я сделал замену, $\frac{dx}{dt}=y$; Получилось $\frac{dy}{dt}=-w^2\cdot x$

Далее я перекинул $dt$ в правую часть(просто не пропечаталось), и проинтегрировал, получилось то, что получилось.

И откуда там $dx$ должен взяться я не понимаю

[DeBill]

zaqwsxcde263 в сообщении #1128985 писал(а):

И откуда там $dx$ должен взяться я не понимаю

Так ведь у Вас было

zaqwsxcde263 в сообщении #1128973 писал(а):

$\frac{dy}{dx}=-36x$

!
Но теперь стало

zaqwsxcde263 в сообщении #1128985 писал(а):

сь $\frac{dy}{dt}=-w^2\cdot x$

Далее я перекинул $dt$ в правую часть(просто не пропечаталось), и проинтегрировал,

А вот это - нельзя: да, под интегралом стоит $x$. Но ведь это -функция от $t$ - нельзя ее выносить.

-- 04.06.2016, 22:53 --

А что Вы вообще хотите? Освоить метод Рунге-Кутта? Или таки решить это дифуравнение?

-- 04.06.2016, 22:59 --

Я полагаю, это учебная задача именно по численным методам. Так и решайте ее - численно.

(Оффтоп)

А Вам что - дифуры совсем не рассказывали? И не говорили, что решение вашей задачи дается формулой..
Ну уж нет, что за

[svv]

Боюсь, ничего не получится.

Хорошо. Полезно знать точное решение Вашей задачи, чтобы знать, к чему стремиться. Вот общее решение уравнения гармонических колебаний $\frac{d^2 x}{dt^2}+\omega^2 x=0$ :
$x=A\sin\omega t+B\cos\omega t$
Циклическая частота пишется так: $\omega$ (код \omega), а не так: $w$.
Сможете Вы определить константы $A$ и $B$, исходя из начальных условий?

По методу Рунге-Кутта. На каждом шаге Вам надо по известным формулам вычислять числа
$k_{x1}, k_{y1}, k_{x2}, k_{y2}, k_{x3}, k_{y3}, k_{x4}, k_{y4}$
(обратите внимание, что их вдвое больше, чем в примере из методички — вероятно, там было уравнение первого порядка). Эти числа дают возможность вычислять $x$ и $y$ для «следующего» значения независимой переменной $t+h$, если они известны для значения $t$:
$x(t+h)=x(t)+\frac h 6(k_{x1}+2k_{x2}+2k_{x3}+k_{x4})$
$y(t+h)=y(t)+\frac h 6(k_{y1}+2k_{y2}+2k_{y3}+k_{y4})$
Так, по шагам, начиная с $t=0$ и заканчивая $t_{\max}=3$, и получается решение.

Чтобы точность была приемлемой, надо выбрать достаточно малый шаг $h$ независимой переменной. В таком случае шагов будет много. Скажем, для достижения точности порядка $10^{-6}$ надо взять шаг $h=0.01$, и тогда при $t_{\max}=3$ шагов будет $300$. Так что считать будет точно компьютер, а не Вы. Поэтому от Вас требуется хорошее знание формул, используемых в методе, а не попытки что-то вычислить вручную — этот путь не приведёт к успеху. Хорошей новостью является то, что эти формулы есть в любом учебнике по численным методам, в любом справочнике по математике, и даже в Википедии.