Решить систему в натуральных числах

[Rusit8800]

Решить систему в натуральных числах:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} a^3+b=c(a^2+b^2) \\ a+b^3=d(a^2+b^2) \\ \end{array} \right.$$

В ответе к задачке сказано ,что $a=b=c=d=1$.Их решение понятно, но в моем решении я не могу найти ошибку.

$$\left\{ \begin{array}{rcl} a^3+b=c(a^2+b^2) \\ a+b^3=d(a^2+b^2) \\ \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} a^2(a-c)=b(cb-1) \\ b^2(b-d)=a(ad-1) \\ \end{array} \right.$$

Из данной системы следует уравнение:

$$ a^2b^2(a-c)(b-d) = ab(cb-1)(ad-1)$$

$$ ab(a-c)(b-d) = (cb-1)(ad-1)$$

$$ a^2b^2 - a^2bd +ad - ab^2c + bc =1$$

$$ a^2b^2 + ad(1-ab) + bc(1-ab) =1$$

$$ (1-ab)(ad+bc)=1-a^2b^2 $$

$$ (1-ab)(ad+bc)=(1-ab)(1+ab) $$

$$ ad+bc=1+ab $$

Однако данное уравнение допускает другое решение, скажем $a=0, b=c=1, d\in\mathbb{N}$
Скажите, где я не прав.

-- 03.06.2016, 13:18 --

Ой, $0 \notin$ $\mathbb{N}$
Может есть надежда, что мое решение правильное?

-- 03.06.2016, 13:22 --

Да, оно допускает, только что $a=b=c=d=1$, если $a,b,c,d \in \mathbb{N}$.Можете удалять тему.

[whitefox]

Rusit8800 в сообщении #1128510 писал(а):

Ой, $0 \notin$ $\mathbb{N}$

Иногда принадлежит.

[12d3]

Rusit8800 в сообщении #1128510 писал(а):

Да, оно допускает, только что $a=b=c=d=1$,

Почему это? У уравнения $ ad+bc=1+ab $ куча разных решений есть.
Вообще, когда вы от системы перешли к одному уравнению, у вас могут появиться лишние решения. И они появляются.

[Rusit8800]

12d3 в сообщении #1128534 писал(а):

Rusit8800 в сообщении #1128510 писал(а):

Да, оно допускает, только что $a=b=c=d=1$,

Почему это? У уравнения $ ad+bc=1+ab $ куча разных решений есть.
Вообще, когда вы от системы перешли к одному уравнению, у вас могут появиться лишние решения. И они появляются.

Мда, остается $a\in\mathbb{N}$.Почему так произошло?

-- 03.06.2016, 14:18 --

Например $a=\frac{b^2(b-d)}{ad-1} \Rightarrow a=0$

-- 03.06.2016, 14:19 --

Третья система, второе уравнение

-- 03.06.2016, 14:19 --

Что не так?