Рациональность корней уравнения в зависимости от параметра

[stedent076]

При каких значения параметра $a\ne 0$ уравнение $a^2x^2-a(2a+3)x+(a^2+2a+2)=0$ имеет только рациональные корни
1)Дискримминант уравнения равен $\sqrt{8a+1}\cdot a$. Что накладывает ограничение $a\geqslant 0$
2)$x_{1;2}=\dfrac{a(2a+3)\pm a \cdot \sqrt{8a+1}}{2a^2}=\dfrac{2a+3 \pm \sqrt{8a+1} }{2a} (1) $

3) Знаменатель дроби $(1)$ должен быть натуральным, числитель – целым числом. Вопрос: как, исходя из общего вида корней получить общее выражение для параметра?
Заранее благодарен за помощь!

[Brukvalub]

stedent076 в сообщении #1128331 писал(а):

Дискримминант уравнения равен $\sqrt{8a+1}\cdot a$. Что накладывает ограничение $a\geqslant 0$

И дискриминант неверный, и ограничение "кривое".

[stedent076]

Brukvalub
Я в стартовом посте неточно списал уравнение $a^2x^2-a(2a+3)x+(a^2+2a+2)=0$
А в чем выражается "кривость" ограничения?

[Brukvalub]

Квадратный корень из произведения чисел не всегда равен произведению квадратных корней из этих чисел.

[gefest_md]

Для любого $a\in\mathbb{R}$, существует корень уравнения ... и все корни рациональны тогда и только тогда, когда $P(a)$.

Пусть $a\in\mathbb{R}$ (произвольное). Двигаться справа налево не можем потому, что $P(a)$ неизвестен. Но можно слева направо:
1. Пусть $a^2x^2-a(2a+3)x+(a^2+2a+2)=0$ для некоторого $x\in\mathbb{R}$ (корень)
2. Пусть все корни уравнения $a^2x^2-a(2a+3)x+(a^2+2a+2)=0$ рациональны.

Выводы:
(1) Из 1 и 2 следует, что $x\in\mathbb{Q}$.
(2) $a\not= 0$ (войдёт в $P(a)$). В противном случае $2=0.$
Какие ещё?

[stedent076]

Brukvalub
Хорошо, можно пока не представлять дискримминант как произведение и не явно не формулировать область допустимых значений параметра. Но как прийти к тому, что корни рациональны, если $a$ представимо в виде $p(p+1)$, где $p\in\mathbb{N}$
gefest_md
Я нифига не понял. Что значит $P(a)$ ? Многочлен, где $a$ выступает в качестве переменной? И почему это выражает необходимое и достаточное условие рациональности корней? Что значит "двигаться слева направо"?

gefest_md в сообщении #1128360 писал(а):

$a\not= 0$ (войдёт в $P(a)$). В противном случае $2=0.$

Объясните, пожалуйста подробно это предложение.

[Brukvalub]

Привлеките т. Виета и критерий рациональности квадратного корня из рационального числа.

[stedent076]

Brukvalub
Спасибо! Решил)