Параметр и свойство корней уравнения

[stedent076]

Добрый день! Возник вопрос при решении следующей задачи:
При каких значениях параметра $a$ уравнение $ax^2+3x+(2a^2-3)=0$ имеет целые корни?
Содержательные попытки решения:
1) при $a=0$ уравнение имеет целый корень
2)Если $a\ne0$ то по теореме Виета:

$$ \begin{cases} x_1+x_2=\dfrac{-3}{a}, \\ x_1\cdot x_2=\dfrac{2a^2-3}{a}=2a-\dfrac{3}{a} \end{cases} $$

3)Т.к. корни целые, то $x_1+x_2\in\mathbb{Z}$ и $x_1\cdot x_2\in\mathbb{Z}$. Это значит, что $2\vdots a$ и $-3\vdots a$
Вопрос: что делать дальше, исходя из полученных условий?
Заранее благодарен за помощь.

[Brukvalub]

Можно оттолкнуться от разложения $(x_1-1)(x_2-1)=2a+1$

[DeBill]

stedent076 в сообщении #1128289 писал(а):

Это значит, что $2\vdots a$ и $-3\vdots a$

Видимо, Вы хотели сказать, что числа $-\frac{3}{a}$ и $2a$ - целые. Обозначим их $m,n$. Тогда $mn=-6$. Далее - перебор...

[stedent076]

DeBill
а без перебора никак?

[DeBill]

stedent076
Ну, я не вижу...
А че перебирать то: всего 8 вариантов...

[stedent076]

DeBill
Некрасиво как-то

-- 02.06.2016, 19:11 --

DeBill
Перебор дал $a=\dfrac{1}{2}$ и $a=\dfrac{3}{2}$.

-- 02.06.2016, 19:11 --

Brukvalub
Если $a=-\dfrac{1}{2}$, то по крайней мере один корень ( обозначим его $x_1$) равен еденице. Тогда:
$x_2=\dfrac{-3}{a}-\dfrac{a}{a}=\dfrac{-3-a}{a}=-7$, что удовл. условию задачи.
Но как отсюда получить значение $a=\dfrac{3}{2}$ ?

[Brukvalub]

stedent076, я придумал некое рассуждение и указал вам на его начало. В целом, мое рассуждение сложнее, чем ход, указанный уважаемым DeBill
. Так что решайте так, как направил он - не прогадаете!

[stedent076]

Brukvalub
Как направил уважаемый DeBill я уже решил. Теперь я хочу решить Вашим способом. Подскажите, пожалуйста, следующий шаг от разложения.

[DeBill]

Ну, сосчитайте еще дискриминант: он равен $9+6n - n^3$ - он должен быть квадратом. Легче будет перебирать...

[Brukvalub]

У меня тоже все в конце сводилось к перебору, зачем тянуть на форум заведомо худшее рассуждение?

[DeBill]

А, уже сделано...