2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Параметр и свойство корней уравнения
Сообщение02.06.2016, 17:19 
Аватара пользователя


18/01/16
627
Добрый день! Возник вопрос при решении следующей задачи:
При каких значениях параметра $a$ уравнение $ax^2+3x+(2a^2-3)=0$ имеет целые корни?
Содержательные попытки решения:
1) при $a=0$ уравнение имеет целый корень
2)Если $a\ne0$ то по теореме Виета:
$$
\begin{cases}
x_1+x_2=\dfrac{-3}{a}, \\

x_1\cdot x_2=\dfrac{2a^2-3}{a}=2a-\dfrac{3}{a}
\end{cases}
$$
3)Т.к. корни целые, то $x_1+x_2\in\mathbb{Z}$ и $x_1\cdot x_2\in\mathbb{Z}$. Это значит, что $2\vdots a$ и $-3\vdots a$
Вопрос: что делать дальше, исходя из полученных условий?
Заранее благодарен за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметр и свойство корней уравнения
Сообщение02.06.2016, 17:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Можно оттолкнуться от разложения $(x_1-1)(x_2-1)=2a+1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметр и свойство корней уравнения
Сообщение02.06.2016, 17:26 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
stedent076 в сообщении #1128289 писал(а):
Это значит, что $2\vdots a$ и $-3\vdots a$

Видимо, Вы хотели сказать, что числа $-\frac{3}{a}$ и $2a$ - целые. Обозначим их $m,n$. Тогда $mn=-6$. Далее - перебор...

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметр и свойство корней уравнения
Сообщение02.06.2016, 17:32 
Аватара пользователя


18/01/16
627
DeBill
а без перебора никак?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметр и свойство корней уравнения
Сообщение02.06.2016, 17:56 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
stedent076
Ну, я не вижу...
А че перебирать то: всего 8 вариантов...

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметр и свойство корней уравнения
Сообщение02.06.2016, 18:01 
Аватара пользователя


18/01/16
627
DeBill
Некрасиво как-то

-- 02.06.2016, 19:11 --

DeBill
Перебор дал $a=\dfrac{1}{2}$ и $a=\dfrac{3}{2}$.

-- 02.06.2016, 19:11 --

Brukvalub
Если $a=-\dfrac{1}{2}$, то по крайней мере один корень ( обозначим его $x_1$) равен еденице. Тогда:
$x_2=\dfrac{-3}{a}-\dfrac{a}{a}=\dfrac{-3-a}{a}=-7$, что удовл. условию задачи.
Но как отсюда получить значение $a=\dfrac{3}{2}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметр и свойство корней уравнения
Сообщение02.06.2016, 18:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
stedent076, я придумал некое рассуждение и указал вам на его начало. В целом, мое рассуждение сложнее, чем ход, указанный уважаемым DeBill
. Так что решайте так, как направил он - не прогадаете! :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметр и свойство корней уравнения
Сообщение02.06.2016, 18:22 
Аватара пользователя


18/01/16
627
Brukvalub
Как направил уважаемый DeBill я уже решил. Теперь я хочу решить Вашим способом. Подскажите, пожалуйста, следующий шаг от разложения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметр и свойство корней уравнения
Сообщение02.06.2016, 18:24 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Ну, сосчитайте еще дискриминант: он равен $9+6n - n^3$ - он должен быть квадратом. Легче будет перебирать...

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметр и свойство корней уравнения
Сообщение02.06.2016, 18:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
У меня тоже все в конце сводилось к перебору, зачем тянуть на форум заведомо худшее рассуждение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметр и свойство корней уравнения
Сообщение02.06.2016, 18:26 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
А, уже сделано...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Geen


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group