Анализ траектории броуновской частицы. Статистика дело тонк

[VladimirMSK]

Всем привет.

У меня есть задача из анализа координат броуновской частицы (БЧ) оценивать ее гидродинамический радиус. В принципе я разрабатываю программу, которая отслеживает БЧ на видео, а затем обрабатывает полученные данные. Основная определяемая величина из координат БЧ - это средний квадрат смещения (СКС) за определенный интервал времени. При анализе столкнулся с такой ситуацией, которая, на первый взгляд, казалась логичной, но на практике оказалось все не так, хотел спросить, кто как объясняет такой подход к нахождению среднего смещения и среднего квадрата смещения.
1. Предположим, я получил 100 координат по Х для одной БЧ. Каждая координата снималась через 1 секунду (эквидистантные по времени). Я хочу подсчитать среднее смещение (СС) по Х за время 1 секунда. Все просто: суммирую 99 возможных смещений (Что-то типа Х[i+1]-X[i]), делю на 99. Средний квадрат смещения - аналогично.
2. Для СС и СКС для этих 100 координат по Х на интервале 2 секунды. Что я думал, как надо делать- суммировать всевозможные смещения типа Х[i+2]-x[i], при этом суммируются например смещения Х[3]-X[1] и X[4]-X[2], которые, с одной стороны являются смещениями этой БЧ на времени 2 сек и каждая координата по определению, вроде, есть случайная величина, но по времени они "пересекаются". Т.е. если забыть про "течение" времени, то эти смещения одной и той же БЧ, на одном и том же времени и, казалось бы, их можно усреднять. Но, похоже, из-за "пересечения" по времени так их использовать нельзя.
3. Похоже, можно усреднять только "не пересекающиеся" во времени смещения. С пересекающимися усреднение было бы на большем числе смещений - лучше усреднение.

Все это рассчитывается для нахождения коэффициента диффузии БЧ, т.к. СКС связан с КоэфДифф.

[druggist]

VladimirMSK в сообщении #1128207 писал(а):

Но, похоже, из-за "пересечения" по времени так их использовать нельзя.

Нельзя-то почему? Коэфф. диффузии разный получается?

[Pphantom]

Если считать, что к Вашим реальным данным в полном объеме приложима модель броуновского движения, то можно. А если результаты получаются разными, стало быть, модель не очень хороша и перемещения на соседних интервалах времени коррелируют. Соответственно, надо бы понять, из чего следует, что "нельзя".

[VladimirMSK]

я представил себе предельный случай, что, например, для 100 координат два смещения x[99]-x[1] и x[100]-x[2] произошли на одинаковом времени 99 сек, при этом они имеют общий путь (не независимый) около 99%, т.е. каждое отдельно из этих смещений (средний квадрат смещения) известно как соотносятся с диффузией, но если их пытаться использовать, как не пересекающиеся и по ним усреднять - нарушается, видимо, нормальное распределение смещений, а из предположения о нормальности распределения, видимо, строилось соотношение среднего квадрата смещения и коэф.дифф.
Хотелось бы сформулировать более аккуратно и формально.

[Pphantom]

Так Вы себе "это представили" или реально убедились? Если второе - есть повод для обсуждения, если первое - просто не надо себе представлять лишнее.

[druggist]

VladimirMSK в сообщении #1128288 писал(а):

Хотелось бы сформулировать более аккуратно и формально.

А пока формулируете, не могли бы просто сказать, какой получился односекундный СКС и двухсекундный СКС(можно в относительных единицах)?

[VladimirMSK]

Pphantom в сообщении #1128310 писал(а):

Так Вы себе "это представили" или реально убедились? Если второе - есть повод для обсуждения, если первое - просто не надо себе представлять лишнее.

Я пытаюсь понять и предложил один и возможных ходов рассуждения. Хотелось бы услышать где в этом рассуждении некорректные утверждения? Я заранее ответа не знаю, как правильно.

-- 02.06.2016, 20:12 --

druggist в сообщении #1128314 писал(а):

VladimirMSK в сообщении #1128288 писал(а):

Хотелось бы сформулировать более аккуратно и формально.

А пока формулируете, не могли бы просто сказать, какой получился односекундный СКС и двухсекундный СКС(можно в относительных единицах)?

У меня есть экспериментальные данные, надежность измерения (получения) которых нужно еще проверить. В этом смысле значения "односекундных" и "двухсекундных" (реальные времена, на которых смотрю 1/52 секунды) могут быть неправильными не только из-за метода подсчета, но и из-за особенностей получения данных (измерений).
Подскажите, как должны соотноситься СКС в проекции на одну координату (смещение по одной координате отслеживается) для "односекундных" и "двухсекундных"?

[druggist]

VladimirMSK в сообщении #1128343 писал(а):

для "односекундных" и "двухсекундных"?

По-моему, из общих соображений средние квадраты должны относиться как 1 : 2.

[VladimirMSK]

druggist в сообщении #1128354 писал(а):

VladimirMSK в сообщении #1128343 писал(а):

для "односекундных" и "двухсекундных"?

По-моему, из общих соображений средние квадраты должны относиться как 1 : 2.

1 к 2 - да, сейчас посмотрел формулы - это очевидно, не зависимо от того в проекции на одну ось координат рассматривается или на плоскости или в объеме. Согласен.

А из общих соображений понятно, что нельзя для расчетов СКС использовать перекрывающиеся по времени смещения?
Как-то мне это не очевидно, но похоже, что нельзя.

Я это к чему. К тому, что если у меня 100 координат, при подсчете коэфф.диффузии на скольких смещениях на всевозможных интервалах времени максимально я могу получить усреднение? С перекрывающимися смещениями усреднение на большем количестве будет - точнее. Может быть есть какое-то ограничение на % перекрытия смещений (% общего пути БЧ, некий аналог эффекта памяти для БЧ), при перекрытии менее этого процента работают все утверждения для связи диффузии и СКС БЧ и СКС с интервалом времени наблюдения?

[druggist]

VladimirMSK в сообщении #1128407 писал(а):

А из общих соображений понятно, что нельзя для расчетов СКС использовать перекрывающиеся по времени смещения?
Как-то мне это не очевидно, но похоже, что нельзя.

Мне не понятно, что нельзя. У вас 100 координат, следовательно 99 односекундных и 98 двухсекундных различных смещений, этого вполне достаточно, чтобы получить среднее квадрата смещения в обоих случаях.

[Pphantom]

VladimirMSK в сообщении #1128343 писал(а):

Я пытаюсь понять и предложил один и возможных ходов рассуждения. Хотелось бы услышать где в этом рассуждении некорректные утверждения? Я заранее ответа не знаю, как правильно.

В модели, которую Вы используете, корреляций между различными перемещениями нет, а поведение частицы не зависит от того, в какой момент Вы начинаете за ней смотреть. Из этого, в частности, и получается выражение, связывающее средний квадрат перемещения со временем. Отсюда сразу же следует, что Вы можете брать любые отрезки, в том числе и перекрывающиеся, на итоговом результате это сказываться не должно. Если это в действительности не так, то модель верна лишь приближенно и надо думать, как ее получше подогнать под реальность, но это имеет смысл делать только тогда, когда Вы обнаружите систематические расхождения для реальных данных.

[upgrade]

VladimirMSK в сообщении #1128288 писал(а):

я представил себе предельный случай, что, например, для 100 координат два смещения x[99]-x[1] и x[100]-x[2] произошли на одинаковом времени 99 сек, при этом они имеют общий путь (не независимый) около 99%, т.е. каждое отдельно из этих смещений (средний квадрат смещения) известно как соотносятся с диффузией, но если их пытаться использовать, как не пересекающиеся и по ним усреднять - нарушается, видимо, нормальное распределение смещений

Видимо, автор имеет ввиду вот что:
Если посчитать усреднения для неперекрывающихся интервалов, то нормальное распределение будет. То есть берем частицу, берем координату $x_0$, затем отсчитываем $99$ сек получаем координату $x_1$, вычисляем смещение и так много раз, каждый раз получая новый отсчет времени - разбиваем диапазоны по времени, то есть ряд $x_1-x_0, x_2-x_1,...$.
Второй вариант - берем частицу, и разбиваем данные не по времени, а по координатам, отсчитывая не секунды, а иксы - $99$ иксов - $x_{99}-x_{0},x_{100}-x_{1}, x_{101}-x_{2}, ...$, а иксы эти получены раз в секунду.
Будет ли разброс координат и в первом и во втором случае одинаковым.
"Загвоздка" в том, что во втором случае интуитивно явно должна быть какая то корреляция - ведь данные считываются с вполне однозначного пути, смещения должны быть "настроены" так, чтобы приходить к конечной точке, ведь ее координаты вроде бы определены в начале измерений, тогда как в первом случае координаты конечной точки не определены.

[druggist]

Опять же из общих соображений, если мы хотим получить среднее, складывая все 98 двухсекундных интервалов,то, конечно, это не будет сумма полностью независимых величин. Но можно получить два средних, одно для "нечетных" интервалов (получаемых разностью двух соседних нечетных координат), другое для "четных". В этом случае слагаемые в обеих суммах будут полностью независимыми, так же как и в случае односекундных

[VladimirMSK]

Pphantom в сообщении #1128464 писал(а):

VladimirMSK в сообщении #1128343 писал(а):

Я пытаюсь понять и предложил один и возможных ходов рассуждения. Хотелось бы услышать где в этом рассуждении некорректные утверждения? Я заранее ответа не знаю, как правильно.

В модели, которую Вы используете, корреляций между различными перемещениями нет, а поведение частицы не зависит от того, в какой момент Вы начинаете за ней смотреть. Из этого, в частности, и получается выражение, связывающее средний квадрат перемещения со временем. Отсюда сразу же следует, что Вы можете брать любые отрезки, в том числе и перекрывающиеся, на итоговом результате это сказываться не должно. Если это в действительности не так, то модель верна лишь приближенно и надо думать, как ее получше подогнать под реальность, но это имеет смысл делать только тогда, когда Вы обнаружите систематические расхождения для реальных данных.

Показать расхождение не могу, т.к. не уверен в правильности своих расчетов, но оно существенное при расчете коэффициента диффузии на всевозможных перекрывающихся интервалах (смещениях) и при расчете на не перекрывающихся. Именно при расчете коэффициента диффузии (КД) вылезает особенность, связанная с перекрыванием по времени, т.к. КД можно подсчитать на разных интервалах времени и соответственно на разных средних квадратах смещения.

Подскажите, где я ошибаюсь в своих рассуждениях: смещение броуновской частицы за время t - случайная величина. Известно, что распределение смещений и квадрата смещений такой частицы имеют нормальное распределение относительно среднего, определяемого размером частицы, температурой и вязкостью среды. Эти утверждения справедливы для не перекрывающихся по времени смещений. Для перекрывающихся по времени смещений такие утверждения сделать нельзя, т.к... Вот здесь не могу сформулировать.

-- 03.06.2016, 11:51 --

druggist в сообщении #1128448 писал(а):

VladimirMSK в сообщении #1128407 писал(а):

А из общих соображений понятно, что нельзя для расчетов СКС использовать перекрывающиеся по времени смещения?
Как-то мне это не очевидно, но похоже, что нельзя.

Мне не понятно, что нельзя. У вас 100 координат, следовательно 99 односекундных и 98 двухсекундных различных смещений, этого вполне достаточно, чтобы получить среднее квадрата смещения в обоих случаях.

Я спрашивал про дальнейшие шаги - поиск СКС на интервале три секунды, четыре и т.д. все возможные интервалы. Мне этот СКС нужен для расчета коэффициента диффузии (КД) и я хочу его считать с максимально возможной точностью и, казалось бы, т.к. метод статистический, увеличивая число, на котором я усредняю (использую перекрывающиеся интервалы), я должен повысить точность. Я должен иметь линейную зависимость СКС от интервала времени, на котором смотрю СКС, а наклон этой зависимости и есть КД. При этом я вижу, что при использовании для усреднений всевозможных интервалов, в том числе и перекрывающихся, я получаю причудливую зависимость СКС от интервала времени, все время разную. Возможно, это из-за моего неправильно расчета. Хотел узнать а с точки зрения теории, можно ли однозначно сказать, можно ли так считать?