Суммирование методом Рамануджана

[Anixx]

Кто объяснит, почему в терминах суммирования Раманужана (и других совместимых с ним),

Всегда для любого позитивного n

$$\sum_{k=1}^\infty -n k^{n-1}=\sum_{k=1}^\infty \left(k^n-(k-1)^n\right)$$

и для любого n вообще

$$\sum_{k=0}^\infty -n (k+1)^{n-1}=\sum_{k=0}^\infty \left((k+1)^n-k^n\right)$$

?

Lia: Заголовок изменен без согласования с автором.

[Slav-27]

Что значит почему: доказать не получается или вы интересуетесь глубинным смыслом?

Если первое, то в чём проблема расписать и посчитать?

Откуда взялись эти равенства?

[Anixx]

Как расписать? Меня послали вот на эту статью: http://projecteuclid.org/download/pdf_1 ... 1102968273

Но я там этого не нашел.

-- 02.06.2016, 11:58 --

Кроме того, интересует доказательство более общей формулы:

$$\sum_{k=0}^\infty -f'(k+1)=\sum_{k=0}^\infty \left(f(k+1)-f(k)\right)$$

[TOTAL]

Anixx в сообщении #1117637 писал(а):

Всегда для любого позитивного n

$$\sum_{k=1}^\infty -n k^{n-1}=\sum_{k=1}^\infty \left(k^n-(k-1)^n\right)$$

Левая часть отрицательная, а правая положительная.

[Brukvalub]

TOTAL в сообщении #1128195 писал(а):

Левая часть отрицательная, а правая положительная.

Это компенсируется расходимостью обеих сумм.

[Anixx]

Ошибка со знаком, похоже.

-- 02.06.2016, 13:37 --

Нет, нет ошибки со знаком, всё правильно.

-- 02.06.2016, 13:40 --

TOTAL в сообщении #1128195 писал(а):

Левая часть отрицательная, а правая положительная.

Речь идет об обобщенном суммировании. Например,

$\sum_{k\ge 0}^R k =-1/12 $

Все частичные суммы положительные, а сумма Раманужана тут отрицательная.

[grizzly]

Anixx
А по этой ссылке с методом сдвига не удалось разобраться?

[TOTAL]

Anixx в сообщении #1128208 писал(а):

Речь идет об обобщенном суммировании. Например,

$\sum_{k\ge 0}^R k =-1/12 $

Все частичные суммы положительные, а сумма Раманужана тут отрицательная.

Конкретно что такое левая часть?

[Anixx]

TOTAL в сообщении #1128226 писал(а):

Anixx в сообщении #1128208 писал(а):

Речь идет об обобщенном суммировании. Например,

$\sum_{k\ge 0}^R k =-1/12 $

Все частичные суммы положительные, а сумма Раманужана тут отрицательная.

Конкретно что такое левая часть?

По-моему, на Западе это уже даже в школе рассказывают: https://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_% ... _%E2%8B%AF

[mihailm]

(Оффтоп)

А в Китае и Японии в детском саду, так что запад в пролете))

[whitefox]

Anixx
Не ту ссылку вы дали, было бы лучше сюда.