2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Суммирование методом Рамануджана
Сообщение23.04.2016, 06:34 


30/10/12

87
Кто объяснит, почему в терминах суммирования Раманужана (и других совместимых с ним),

Всегда для любого позитивного n

$$\sum_{k=1}^\infty -n k^{n-1}=\sum_{k=1}^\infty \left(k^n-(k-1)^n\right)$$

и для любого n вообще

$$\sum_{k=0}^\infty -n (k+1)^{n-1}=\sum_{k=0}^\infty \left((k+1)^n-k^n\right)$$

?

 i  Lia: Заголовок изменен без согласования с автором.

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммирование методом Рамануджана
Сообщение27.04.2016, 19:24 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
Что значит почему: доказать не получается или вы интересуетесь глубинным смыслом?

Если первое, то в чём проблема расписать и посчитать?

Откуда взялись эти равенства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммирование методом Рамануджана
Сообщение02.06.2016, 11:55 


30/10/12

87
Как расписать? Меня послали вот на эту статью: http://projecteuclid.org/download/pdf_1 ... 1102968273

Но я там этого не нашел.

-- 02.06.2016, 11:58 --

Кроме того, интересует доказательство более общей формулы:

$$\sum_{k=0}^\infty -f'(k+1)=\sum_{k=0}^\infty \left(f(k+1)-f(k)\right)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммирование методом Рамануджана
Сообщение02.06.2016, 12:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5486
Нов-ск
Anixx в сообщении #1117637 писал(а):
Всегда для любого позитивного n
$$\sum_{k=1}^\infty -n k^{n-1}=\sum_{k=1}^\infty \left(k^n-(k-1)^n\right)$$

Левая часть отрицательная, а правая положительная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммирование методом Рамануджана
Сообщение02.06.2016, 12:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
TOTAL в сообщении #1128195 писал(а):
Левая часть отрицательная, а правая положительная.

Это компенсируется расходимостью обеих сумм. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммирование методом Рамануджана
Сообщение02.06.2016, 13:04 


30/10/12

87
Ошибка со знаком, похоже.

-- 02.06.2016, 13:37 --

Нет, нет ошибки со знаком, всё правильно.

-- 02.06.2016, 13:40 --

TOTAL в сообщении #1128195 писал(а):
Левая часть отрицательная, а правая положительная.

Речь идет об обобщенном суммировании. Например,

$\sum_{k\ge 0}^R k =-1/12 $

Все частичные суммы положительные, а сумма Раманужана тут отрицательная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммирование методом Рамануджана
Сообщение02.06.2016, 13:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Anixx
А по этой ссылке с методом сдвига не удалось разобраться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммирование методом Рамануджана
Сообщение02.06.2016, 14:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5486
Нов-ск
Anixx в сообщении #1128208 писал(а):
Речь идет об обобщенном суммировании. Например,

$\sum_{k\ge 0}^R k =-1/12 $

Все частичные суммы положительные, а сумма Раманужана тут отрицательная.
Конкретно что такое левая часть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммирование методом Рамануджана
Сообщение02.06.2016, 14:13 


30/10/12

87
TOTAL в сообщении #1128226 писал(а):
Anixx в сообщении #1128208 писал(а):
Речь идет об обобщенном суммировании. Например,

$\sum_{k\ge 0}^R k =-1/12 $

Все частичные суммы положительные, а сумма Раманужана тут отрицательная.
Конкретно что такое левая часть?


По-моему, на Западе это уже даже в школе рассказывают: https://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_% ... _%E2%8B%AF

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммирование методом Рамануджана
Сообщение02.06.2016, 22:33 


19/05/10

3940
Россия

(Оффтоп)

А в Китае и Японии в детском саду, так что запад в пролете))

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммирование методом Рамануджана
Сообщение03.06.2016, 12:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
Anixx
Не ту ссылку вы дали, было бы лучше сюда.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group