Вычислить интеграл

[Charlz_Klug]

Задача:
Вычислить интеграл $\int\limits_{0}^{2 \pi} \frac {dx} {5-3 \cos{x}}$

Решение:
Не буду долго и нудно расписывать как находил первообразную (взял производную - всё сошлось), сразу напишу что получил:
$\frac {1} {2} \arctg{(2 \tg{\frac {x} {2}})}\bigg | \limits_0^{2 \pi} = \frac {1} {2}(\arctg{(2 \tg{\frac {2 \pi} {2}})} - \arctg{(2 \tg{\frac {0} {2}})}) = \frac {1} {2} (\arctg{(2 \tg{\pi})} - \arctg{(2 \tg{0})}) = \frac {1} {2} (\arctg{(2 \cdot 0)} - \arctg{(2 \cdot 0)}) = \frac {1} {2} (\arctg{0} - \arctg{0}) = \frac {1} {2}(0-0)= \frac {1} {2} \cdot 0= 0$

В ответе сказано $\frac {\pi} {2}$. Посмотрел на график кривой. Действительно, ответ не должен быть нулевым. Пожалуйста, разъясните мою ошибку.

[Lia]

Замена разрывна. И как следствие, "первообразная" не дифференцируема на всем отрезке интегрирования.

[Mikhail_K]

Charlz_Klug в сообщении #1127988 писал(а):

Не буду долго и нудно расписывать как находил первообразную (взял производную - всё сошлось)

Понимаете, то что Вы нашли - не есть первообразная. В одной точке (понимаете, про какую точку речь?) Ваша "первообразная" вообще не определена, тем более не определена производная от неё, тем более эта производная не равна значению подынтегральной функции в этой точке. И пусть во всех других точках производная равна подынтегральной функции, но вот эта одна маленькая точка всё портит.

"Правильную" первообразную Вам искать не стоит, хватит и той не-совсем-первообразной, которую Вы нашли. Но вот с этой точкой надо что-то делать...

[TelmanStud]

Charlz_Klug
Разбейте

$$\int\limits_{0}^{2\pi}=\int\limits_{0}^{\pi}+\int\limits_{\pi}^{2\pi}$$

и по отдельности вычислите.

[Charlz_Klug]

Mikhail_K в сообщении #1128006 писал(а):

Понимаете, то что Вы нашли - не есть первообразная. В одной точке (понимаете, про какую точку речь?) Ваша "первообразная" вообще не определена, тем более не определена производная от неё, тем более эта производная не равна значению подынтегральной функции в этой точке. "Правильную" первообразную Вам искать не стоит, хватит и той не-совсем-первообразной, которую Вы нашли. Но вот с этой точкой надо что-то делать...

Очевидно, что "нехорошей" точкой является $x=\pi$. Я додумался до того, чтобы посчитать предел при $x \to \pi$:
$\lim\limits_{x \to \pi}\frac {1} {2} \arctg{(2 \tg{\frac {x} {2}})}=\frac {1} {2} \arctg{(2 \tg{\frac {\pi} {2}})} = \frac {1} {2} \arctg{(2 \cdot \infty)}= \frac {1} {2} \arctg{(\infty)}=$
$\frac {1} {2} \cdot \frac {\pi} {2} = \frac {\pi} {4}$

Тогда $\frac {1} {2} \arctg{(2 \tg{\frac {x} {2}})}\bigg | \limits_0^{\pi} = \frac {\pi} {4} - \frac {1} {2} \arctg{(2 \tg{\frac {\pi} {2}})} = \frac {\pi} {4} - 0 = \frac {\pi} {4}$

$\frac {\pi} {4} -$ первая половина волны. К ней прибавляем вторую половину: $2 \cdot \frac {\pi} {4} = \frac {\pi} {2}$
Верная мысль?

[TelmanStud]

Charlz_Klug
Верная, если вы заметили, что ваша подынтегральная функция симметрична относительно точки $x=\pi$.

[Charlz_Klug]

TelmanStud в сообщении #1128047 писал(а):

Верная, если вы заметили, что ваша подынтегральная функция симметрична относительно точки $x=\pi$.

Спасибо! Да, заметил. Mikhail_K, Lia спасибо за помощь!

[ewert]

Вообще-то лучше было бы заметить, что подынтегральная функция -- чётная.

[Charlz_Klug]

ewert в сообщении #1128075 писал(а):

Вообще-то лучше было бы заметить, что подынтегральная функция -- чётная.

Извините, не понял что это даёт. Пожалуйста, дайте ещё одну подсказку.

[ewert]

Видите ли, пределы в интеграле по периоду можно сдвигать, в принципе, как угодно. Выбранный Вами вариант никак не был согласован с чётностью функции. А вот если бы Вы эту чётность заметили, то автоматически и пределы расставили бы иначе; и тогда никаких проблем с разрывностью замены столь же автоматически не возникло бы.

И кстати. В большинстве случаев (не в подавляющем, но большинстве) выгоднее не искать первообразную исходного выражения, а делать замены непосредственно в определённом интеграле, с соответствующими пересчётами пределов. Здесь -- как раз такой случай.

[Brukvalub]

В матане давно придумано понятие обобщенной первообразной. Для такой первообразной можно сразу применять формулу Ньютона-Лейбница.

[ewert]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1128136 писал(а):

В матане давно придумано понятие обобщенной первообразной.

В матане много чего придумано даже не то что экзотического, но даже и не всегда нужного. В данном конкретном случае экзотика неадекватна задачке -- чуть более чем абсолютно.

[Charlz_Klug]

ewert в сообщении #1128099 писал(а):

Видите ли, пределы в интеграле по периоду можно сдвигать, в принципе, как угодно. Выбранный Вами вариант никак не был согласован с чётностью функции.

Спасибо, не знал.

ewert в сообщении #1128099 писал(а):

В большинстве случаев (не в подавляющем, но большинстве) выгоднее не искать первообразную исходного выражения, а делать замены непосредственно в определённом интеграле, с соответствующими пересчётами пределов. Здесь -- как раз такой случай.

Это я знаю, но решил расписать.

-- 02.06.2016, 17:13 --

Brukvalub в сообщении #1128136 писал(а):

В матане давно придумано понятие обобщенной первообразной.

Спасибо, почитаю.