Пространство Фока. Представление Фока-Баргмана

[kp9r4d]

Alex-Yu
Ну тогда не Бергмана, просто представления Фока. В конце концов, в стартовом посте не было никакого упоминания Баргмана.

-- 30.05.2016, 17:50 --

Alex-Yu в сообщении #1127266 писал(а):

Но и в самом что ни на есть банальном $L^2$ тоже есть такие операторы Вот представление Баргмана-Фока к этому последнему случаю как раз и относится.

Мне интересно, а что это за операторы? У меня есть ощущение, что вы говорите о *том же самом* представлении Фока, только для некоторой другой виковской алгебры.

[Alex-Yu]

kp9r4d в сообщении #1127267 писал(а):

Мне интересно, а что это за операторы?

Один -- банальные дифференциальный оператор первого порядка. Второй --- сопряженный к этому. А можно и оба сделать дифоператорами первого порядка (но это уже представление отличное от представления Баргмана-Фока). С некоторыми дополнениями на счет области определения и скалярного произведения функций. Это все упоминается в этой ветке, кстати.

-- Пн май 30, 2016 22:55:31 --

kp9r4d в сообщении #1127267 писал(а):

Ну тогда не Бергмана, просто представления Фока. В конце концов, в стартовом посте не было никакого упоминания Баргмана

Может все же будете внимательнее читать? Причем все подряд и сначала. Назавние темы прочитайте для начала

[kp9r4d]

Alex-Yu в сообщении #1127270 писал(а):

Банальные дифференциальные операторы первого порядка. С некоторыми дополнениями на счет области определения и скалярного произведения функций. Это все упоминается в этой ветке, кстати.

Прочитал всё, это ровно то же самое. Ваше "пространство бергмана-фока" это просто реализация $CCR$ соотношений для одной частицы в неограниченных операторах над $L_2$ - частный случай представления фока, так что я всё-таки настаиваю на том, что это вы не разобрались в том, что одна и та же конструкция - это действительно одна и та же конструкция, а не "не имеют никакого отношения друг к другу".

[Alex-Yu]

kp9r4d в сообщении #1127267 писал(а):

У меня есть ощущение, что вы говорите о *том же самом* представлении Фока, только для некоторой другой виковской алгебры.

Ощущение ложное, т.е. галлюцинация

-- Пн май 30, 2016 23:05:39 --

kp9r4d в сообщении #1127274 писал(а):

Ваше "пространство бергмана-фока"

Нет никакого пространства Баргмана-Фока! Фока --- есть, а Баргмана-Фока --- нет. Ну сколько можно бред нести!!!! Есть представление Баргмана-Фока для операторов (причем для других, определенных на $L^2$ а не на пространстве Фока).

Математики, конечно, имеют полное право водить какие-то свои собственные термины. Например, могут ввести физически малоосмысленный термин "представление Фока" и назвать им совершенно ненужную для физики конструкцию. Но вот только не следует математикам столь нагло-поучающе совать свой математический нос в совершенно другую науку. Я же, к примеру, не сую свой физический нос в чистую математику...

[kp9r4d]

Alex-Yu
С вами разговор я прекращаю, удачи.

-- 30.05.2016, 18:22 --

Для всех остальных повторю тезис ещё раз, представление Баргмана-Фока описанное тут в разделе 11а - это частный случай представления Фока для виковской алгебры CCR(1,1).

[WolfAlone]

Давайте, пжлст, без ненужных нагнетаний. Меня, для начала, интересуют базовые вещи, поскольку чую, что дело в их определении или интерпретации. Вот от второго хочу освободиться пока. Ключевые слова, которые меня сейчас интересуют - это "представление", "реализация". Я привык плясать от от печки типа такой. Есть абстрактно голое определение гильбертова пр-ва и пр-ва $L_2$. У первого есть много всяких представлений-реализаций. Вот когда я и читаю про "представление Фока-Баргмана" я и хочу понять. Речь идет в точности о какой-то конеретной реализации гильбертова $H$ или там что-то другое?. Тоже самое про "просто Фока". Потом - это опять моя печка (как могу пока, так и думаю) - я начинаю рассуждать про операторы. Там тоже наверно нужно аккуратно разграничивать абстракцию от представления. Если с этими "печками" прояснится, то можно будет топать дальше. Я пытался понять рассказ про пр-во Фока у Дирака и в рамках мышления "учащегося" (назову себя так) не могу отделаться от впечатления, что Дирак несет какой-то набор слов по своим внутренним понятиям, а не по закону. Хотя слова все стандартные. Может все же абстрактные операторы рождения-уничтожения в самом деле просто инструмент построения некоторой реализации. Чувствую, что в этих трех соснах должно все легко распутываться.

PS. Кстати, а представление для "вашей" виковской алгебры - это реализация операторами в $H$, в $L_2$? Или что-то другое.

[sergei1961]

В лекциях Любарского такой подход. Скажем, для когерентных состояний естественно работать в эль два. Но не для всех задач это оптимальное пространство. Скажем, целая функция-"лучше" функции из эль два. Преобразование Баргмана переводит функции из эль два в функции из пространства Фока целых функций, где многие задачи решаются веселее. Для математика очень понятное объяснение, без всяких физических околичностей и двусмысленностей.
Интересно, Баргман-это Стефан Бергман, или кто-то другой?

[WolfAlone]

Любарского еще посмотрю. Спасибо! Но все равно, доп объяснения welcome!

[kp9r4d]

WolfAlone

WolfAlone в сообщении #1127312 писал(а):

PS. Кстати, а представление для "вашей" виковской алгебры - это реализация операторами в $H$, в $L_2$? Или что-то другое.

Нет - это как раз то представление, которое другое. Прочитав пару обзоров я (со своей колокольни $C^*$-алгебраиста, на большее не претендую), понял, что ситуация такая: физики очень интересуется $*$-алгеброй $CCR_n$ ($CCR(n,1)$ в моей терминологии). И выделяют там три основных представления: представление Фока, действующее на фоковском пространстве и описанное здесь https://en.wikipedia.org/wiki/Fock_space представление Фока-Баргмана, действующее на пространстве Фока-Баргмана (его тоже иногда называют пространством Фока, а представление - представлением Фока, откуда и некоторая путаница в терминологии) и описанное здесь https://en.wikipedia.org/wiki/Segal%E2%80%93Bargmann_space, и есть ещё представление Шрёдингера, действующее на $L_2(\mathbb{R}^n)$ и описанное здесь http://www.math.columbia.edu/~woit/notes21.pdf (там же и представление Фока-Баргмана) по теореме Стоуна Фон-Неймана нету никакой разницы, в каком из представлений работать.

[Alex-Yu]

kp9r4d в сообщении #1127335 писал(а):

физики очень интересуется $*$-алгеброй

Ну это разве что сошедшие с ума физики. Впрочем, таких я лично не видел, не попадались как-то. Нормальные этим не интересуются. Или лишь в качестве забавного (и бесполезного) развлечения.

P.S. Вообще это просто запредельная наглость, когда математик-алгебраист начинает рассказывать нам, физикам, байки о том, чем именно мы интересуемся! Нам лучше известно, чем мы интересуемся, и в его байках мы не нуждаемся!

[amon]

WolfAlone в сообщении #1127312 писал(а):

Речь идет в точности о какой-то конкретной реализации гильбертова $H$ или там что-то другое?.

Да, это реализация гильбертова пространства. Пусть гамильтониан $H=\frac{p^2+q^2}{2}$. Введем операторы $a=\frac{q+ip}{\sqrt{2}}$ и $a^+=\frac{q-ip}{\sqrt{2}}$. Получим, что $[a,a^+]=1$ и $H=a^+a+\frac{1}{2}$. Кроме того, легко сообразить, что существует состояние $|0\rangle$ для которого $a|0\rangle=0$. Все это позволяет получить полную систему волновых функций осциллятора в $q$-представлении: $a|0\rangle=0\to (q+\partial_q)|0\rangle=0\to |0\rangle=e^{\frac{-q^2}{2}}$. Остальные функции получим, действуя оператором $\frac{q-ip}{\sqrt{2}}$ на $|0\rangle$. В качестве упражнения на 15 секунд сообразите, как все это будет выглядеть в $p$-представлении. Т.е., говоря языком рабочих и крестьян, представление (в этом контексте, есть и другие, и там это слово означает совсем другую вещь) - это то, от чего зависит волновая функция.

Теперь можно пойти другим путем, и танцевать от $H=a^+a+\frac{1}{2}$ и $[a,a^+]=1$. Легко проверить,что коммутационные соотношения выполнятся, если считать, что $a^+=z$ и $a=\partial_z$. Переменная $z$ не имеет никакого "физического смысла", и не соответствует никакой наблюдаемой. Кроме того, мы потребуем, что бы наши волновые функции были аналитическими функциями $z$ в комплексной плоскости. Гамильтониан системы будет $H=z\partial_z+\frac{1}{2}$, стало быть уравнение Шредингера - $(z\partial_z+\frac{1}{2})|z\rangle=E|z \rangle$. Его решение, удовлетворяющее условию аналитичности, будет $E=n+ \frac{1}{2}$ и соответствующая этому $E$ волновая функция - $|z\rangle=z^n$. Осталось придумать скалярное произведение наших $z^n$ так, что бы $\langle z^n|z^m\rangle=\delta_{nm}$. Можно проверить, что интеграл с весом $e^{-|z|^2}$ вполне подходит. То, что получилось является альтернативой $q$-представлению, и называется представлением Фока-Баргмана.

Про пространство Фока сейчас времени нет, позже напишу, если кто другой эту брешь не заполнит.

[Alex-Yu]

kp9r4d в сообщении #1127335 писал(а):

И выделяют там три основных представления: представление Фока, действующее на фоковском пространстве и описанное здесь https://en.wikipedia.org/wiki/Fock_space
представление Фока-Баргмана, действующее на пространстве Фока-Баргмана (его тоже иногда называют пространством Фока, а представление - представлением Фока, откуда и некоторая путаница в терминологии) и описанное здесь https://en.wikipedia.org/wiki/Segal%E2% ... mann_space
,

Да уж, совсем "одно и то же".... $CCR(\infty,1)$ (представление Фока, если так уж хочется в рамках нефизического подхода представлений "виковских алгебр") и $CCR(1,1)$ (Баргмана-Фока) если уж в Вашей термиинологии. Это, оказывается, разные представления одного и того же! Обалдеть!!! Не парили бы Вы мозги студенту, уважаемый математик-$C^*$-алгебраист. Занимались бы математикой и оставили физику в покое! Вы же сами с самого начала сказали, что в физике не понимаете ничего.

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1127312 писал(а):

Я привык плясать от от печки типа такой. Есть абстрактно голое определение гильбертова пр-ва и пр-ва $L_2$. У первого есть много всяких представлений-реализаций.

Видите ли, исходить из понятия абстрактного гильбертового пространства здесь довольно проблематично. Потому что все (ограничимся случаем сепарабельных пространств, для физики этого достаточно) гильбертовы пространства изоморфны, а следовательно, с математической точки зрения, являются одним и тем же пространством. Но дело в том, что простроить явный изоморфизм (и работать с ним), к примеру, между гильбертовым пространством состояний одной частицы (можно считать, что это $L^2(R^3)$) и уже гильбертовыми пространством двух частиц (симметризованное прямое произведение $L^2(R^3)$ на себя) довольно проблематично. Тем более проблематично устроить явный изоморфизм между одночастичным пространством и пространством Фока (прямая сумма (по числу частиц $n$) симметризованных произведений одночастичных пространств для всех $n$ от нуля до бесконечности). Поэтому удобнее (хотя математикам, думаю, не понравится) считать это разными пространствами (хотя и то, и другое --- гильбертово). Эти разные пространства далее можно тем или иным образом реализовать в виде функций. В частности, одночастичное пространство можно реализовать или в виде квадратично интегрируемых функций (координатное представление) или в виде аналитических функций (представление Баргмана-Фока). А к многочастичному (причем с произвольным числом частиц) пространству Фока это отношения (во всяком случае прямого) не имеет. Хотя, конечно, пространство Фока можно реализовать как прямую сумму симметризованных координатных функций (назовем, хотя это и не принятое название, "координатно-фоковское представление"). Можно пространство Фока реализовать и как прямую сумму симметризованных аналитических функций. Это, если хотите, "представление Фока-Баргмана-Фока". Но "исходное" представление Баргмана-Фока --- это представление одночастичного пространства состояний и оно не имеет отношения к многочастичному пространству Фока. Короче говоря, чтобы не путаться, надо всегда специфицировать ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕГО ИМЕННО. Представления (их много разных) гильбертового пространства одночастичных сочтояний --- это одно. Представления многочастичного гильбертового пространства Фока --- это из совсем другой "оперы". Представление Баргмана-Фока --- один из вариантов представления гильбертового пространства одночастичных состояний, к многочастичным состояний (т.е. к пространству Фока) отношения не имеет.

Если исходить исключительно из абстрактного гильбертового пространства, то можно, в принципе, написать всю квантовую теорию. Но это будет квантовая теория НЕИЗВЕСТНО КАКОЙ СИСТЕМЫ. Такая теория физически бессмыслена, поскольку не может быть сопоставлена НИ С ОДНИМ экспериментом. Нас интересует не только (и не столько) какие там операторы и пространства (с математической точки зрения), сколько каким ФИЗИЧЕСКИМ величинам соответствуют эти операторы и каким ФИЗИЧЕСКИМ состояниям соответсвуют векторы этих пространств. Поэтому в рамках чисто математического стиля мышления в физике нельзя понять НИЧЕГО. Учитесь мыслить как физик-теоретик, а не как математик. Иначе НИЧЕГО не получится. Иначе бросайте физику и идите в чистую математику (тоже вполне благопристойный вариант, но другой, причем, образно говоря, "ортогональный").

[kp9r4d]

Alex-Yu в сообщении #1127355 писал(а):

Ну это разве что сошедшие с ума физики. Впрочем, таких я лично не видел, не попадались как-то. Нормальные этим не интересуются. Или лишь в качестве забавного (и бесполезного) развлечения.

По-поводу интереса у физиков к алгебраическим аспектам их теорий я скорее поверю статье в википедии https://en.wikipedia.org/wiki/CCR_and_CAR_algebras, чем вам. К тому же это то же самое, о чём говорите и вы, просто немного другой фреймворк, противопоставлять $CCR$-алгебру и какие-то конкретные её представления не менее глупо, чем противопоставлять "абстрактное сепарабельное гильбертово пространство" и конкретные его реализации $\ell_2$ и $L_2[0..1]$. Я действительно не претендовал на знания физических аспектов теорий, но даже мне понятно, что "никакого отношения не имеет" - это сильно некорректная формулировка.

Alex-Yu в сообщении #1127359 писал(а):

Да уж, совсем "одно и то же".... $CCR(\infty,1)$ (представление Фока, если так уж хочется в рамках нефизического подхода представлений "виковских алгебр") и $CCR(1,1)$ (Баргмана-Фока) если уж в Вашей термиинологии.

Во-первых вы пропустили ремарку https://en.wikipedia.org/wiki/Fock_space#Relation_to_Segal-Bargmann_space что нет никаких концептуальных препятствий для определения $B_\infty$ (а именно его я и имел в виду, если из контекста было непонятно или я пользовался необщепринятой терминологией - извините), к тому же сама статья про Бергмана-Фока транслируется на мою терминологию как $CCR(n,1)$.

Ну и напоследок, вы всё время противопоставляете физиков и математиков - мне кажется это не только неправильно, но и опасно, потому что поддерживает некоторые плохие социальные стереотипы. Между тем мне вполне очевидно - что большинство физиков и математиков занимаются одним и тем же просто с разной мотивацией. Если проводить аналогию в сфере IT, то физики - это разработчики коммерческих продуктов, а математики - это разработчики языков программирования или компиляторов. Одни рассматривают язык как инструмент, а другие - и как инструмент и как конечный продукт, но и те и другие занимаются всё-таки программированием.

Кстати, если вам интересно, рассматривать деформированные $CCR$ алгебры предложил Оскар Гринберг а развили эту теорию польские мат. физики Bozejko, Speicher, Fivel...

Btw

Цитата:

Поэтому удобнее (хотя математикам, думаю, не понравится) считать это разными пространствами (хотя и то, и другое --- гильбертово).

я бы сказал, что равными объектами считают "канонически изоморфные пространства", при том представления о каноничности в разных ситуациях могут быть разные, да и то не всегда. Иногда важно $L_2$ и $\ell_2$ различать, $H$ и $H^*$ различают вообще всегда, в обоих случаях - из-за отсутствия именно канонического изоморфизма. А иногда даже различают $H$ и $H^{**}$ (на самом деле двойная дуализация - совсем не такая простая штука, это ровно та причина, по которой в уравнениях Эйлера-Лагранжа стоит минус перед вторым слагаемым).

[Alex-Yu]

kp9r4d в сообщении #1127396 писал(а):

Между тем мне вполне очевидно - что большинство физиков и математиков занимаются одним и тем же просто с разной мотивацией. Если проводить аналогию в сфере IT, то физики - это разработчики коммерческих продуктов, а математики - это разработчики языков программирования или компиляторов.

Вы, конечно, можете считать все, что угодно. На это Ваше право я и не думаю покушаться. Но вот только откуда бы Вам могло быть (хотябы могло быть!) известно, что это так, а не иначе? Физики (во всяком случае теоретики) хоть что-то про математику знают (пусть и довольно слабо). Но математики о физике, как правило, не знают ВООБЩЕ НИЧЕГО. Вы же сами говорили, что не разбираетесь А ссылка на википедию --- это "сильно", еще бы на надпись на заборе сослались Так Вы все же профессиональный математик, или студент? Только студенты на вики, как на авторитет, ссылаются

-- Вт май 31, 2016 04:14:04 --

kp9r4d в сообщении #1127396 писал(а):

но даже мне понятно, что "никакого отношения не имеет" - это сильно некорректная формулировка.

"Имеет очень далекое отношение" Вас устроит? Я на такой вариант согласен. В конце-концов все ко всему имеет хоть какое-то (слабое) отношение. Даже когда я просто двигаю рукой, это влияет на деформацию Луны (а значит имеет отношение). Только очень слабо влияет