Первое необходимое условие дифференцируемости

[lantza]

Из всего курса математического анализа за первый курс есть мало вещей, которые я не могу понять.
Итак, утверждается, что если функция $f(x):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, определенная в некоторой окрестности точки $x^0$, дифференицируема в этой точке, то она непрерывна в этой точке.

Смотрим доказательство: из определения дифференцируемости следует, что $f(x)-f(x^0)=(\operatorname{grad}f(x^0),x-x^0)+o(|x-x^0|)$.
Тогда отсюда по определению o-малого $\lim\limits_{x \to x^0}{\dfrac{f(x)-f(x^0)-(\operatorname{grad}f(x^0),x-x^0)}{|x-x^0|}}=0$. Тогда с учетом того, что $\lim\limits_{x \to x^0}{(\operatorname{grad}f(x^0),x-x^0)}=0, получаем
$\lim\limits_{x \to x^0}{\dfrac{f(x)-f(x^0)}{|x-x^0|}}=0$.

Мне совершенно непонятно, как вообще отсюда следует, что $\lim\limits_{x \to x^0}(f(x)-f(x^0))=0?$
Вот как это получается?

[amon]

Допустим, что $\lim\limits_{x \to x^0}(f(x)-f(x^0))=3$ Чему будет равен $\lim\limits_{x \to x^0}{\dfrac{f(x)-f(x^0)}{|x-x^0|}}?$.

[lantza]

amon в сообщении #1127074 писал(а):

Допустим, что $\lim\limits_{x \to x^0}(f(x)-f(x^0))=3$ Чему будет равен $\lim\limits_{x \to x^0}{\dfrac{f(x)-f(x^0)}{|x-x^0|}}?$.

В данном случае $|x-x^0|=\sqrt{(x_1-x^0_1)^2+...+(x_n-x^0_n)^2}$, поэтому $\lim\limits_{x \to x^0}{\dfrac{f(x)-f(x^0)}{|x-x^0|}}=+\infty$.
Не понимаю вашего вопроса.

[Mihr]

lantza в сообщении #1127073 писал(а):

Тогда с учетом того, что $\lim\limits_{x \to x^0}{(\operatorname{grad}f(x^0),x-x^0)}=0$, получаем
$\lim\limits_{x \to x^0}{\dfrac{f(x)-f(x^0)}{|x-x^0|}}=0$.

Вы уверены, что это точная цитата? Вообще говоря, равенство $\lim\limits_{x \to x^0}{(\operatorname{grad}f(x^0),x-x^0)}=0$ справедливо, но равенство $\lim\limits_{x \to x^0}{\dfrac{f(x)-f(x^0)}{|x-x^0|}}=0$ - вовсе не обязательно справедливо.
Чтобы понять, откуда берётся непрерывность, лучше просто выполните предельный переход ${x \to x^0}$ в исходном равенстве $f(x)-f(x^0)=(\operatorname{grad}f(x^0),x-x^0)+o(|x-x^0|)$. Что получается в пределе в его правой части?

[lantza]

Mihr в сообщении #1127079 писал(а):

Вообще говоря, равенство $\lim\limits_{x \to x^0}{(\operatorname{grad}f(x^0),x-x^0)}=0$ справедливо, но равенство $\lim\limits_{x \to x^0}{\dfrac{f(x)-f(x^0)}{|x-x^0|}}=0$ - вовсе не обязательно справедливо.

Почему же? Я все по-честному расписал выражение из определения дифференцируемости $f(x)-f(x^0)=(\operatorname{grad}f(x^0),x-x^0)+o(|x-x^0|)$, предварительно перебросил все члены влево, кроме о-малого, и расписал определение о-малого.

Mihr в сообщении #1127079 писал(а):

Чтобы понять, откуда берётся непрерывность, лучше просто выполните предельный переход ${x \to x^0}$ в исходном равенстве $f(x)-f(x^0)=(\operatorname{grad}f(x^0),x-x^0)+o(|x-x^0|)$. Что получается в пределе в его правой части?

Чтобы это выяснить, нужно выписать определение о-малого. Чего я и сделал в первом посте.

-- 30.05.2016, 04:00 --

На всякий случай распишу определение о-малого:
$f(x)=o(g(x)) \text{ при } x \to x_0 \leftrightarrow \lim\limits_{x \to x_0}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=0$.

-- 30.05.2016, 04:08 --

А, понятно, нужно же понять, есть ли конечный предел $\lim\limits_{x \to x^0}{\dfrac{f(x)-f(x^0)}{|x-x^0|}}$, чтобы убрать позже член $(\operatorname{grad}f(x^0),x-x^0)$ в числителе $\lim\limits_{x \to x^0}{\dfrac{f(x)-f(x^0)-(\operatorname{grad}f(x^0),x-x^0)}{|x-x^0|}}$ по теореме о сложении пределов (и в этом моя ошибка).
Но тогда вообще непонятно, что делать тогда.

[mihaild]

Существование предела $\lim\limits_{x \to x^0}{\dfrac{f(x)-f(x^0)}{|x-x^0|}}$ - более сильное условие, чем непрерывность, а его равенство нулю - еще более сильное.

lantza в сообщении #1127082 писал(а):

что делать тогда

Взять равенство $f(x)-f(x^0)=(\operatorname{grad}f(x^0),x-x^0)+o(|x-x^0|)$ и найти предел правой части - если он существует, то предел левой части тоже существует и ему равен; а если у каждого слагаемого в правой части есть предел, то существует и предел их суммы, и он равен сумме пределов. Существуют ли, и чему равны пределы этих слагаемых?

[lantza]

mihaild в сообщении #1127084 писал(а):

Взять равенство $f(x)-f(x^0)=(\operatorname{grad}f(x^0),x-x^0)+o(|x-x^0|)$ и найти предел правой части - если он существует, то предел левой части тоже существует и ему равен; а если у каждого слагаемого в правой части есть предел, то существует и предел их суммы, и он равен сумме пределов. Существуют ли, и чему равны пределы этих слагаемых?

lantza в сообщении #1127082 писал(а):

Чтобы это выяснить, нужно выписать определение о-малого. Чего я и сделал в первом посте.

(И в итоге все равно не ясно, что делать.)

[Mikhail_K]

lantza в сообщении #1127087 писал(а):

(И в итоге все равно не ясно, что делать.)

Итак, Вам нужно найти предел $(\operatorname{grad}f(x^0),x-x^0)+o(|x-x^0|)$ при $x\to x^0$. Для этого найдите предел каждого слагаемого, а потом сложите их. Видимо, проблемы у Вас возникают со вторым из этих слагаемых.

lantza в сообщении #1127082 писал(а):

Чтобы это выяснить, нужно выписать определение о-малого. Чего я и сделал в первом посте.

-- 30.05.2016, 04:00 --

На всякий случай распишу определение о-малого:
$f(x)=o(g(x)) \text{ при } x \to x_0 \leftrightarrow \lim\limits_{x \to x_0}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=0$.

Ну, обозначьте Ваше $o(|x-x^0|)$ как-нибудь через $\alpha(x)$ например. Распишите, что значит $\alpha(x)=o(|x-x^0|)$ по определению o-малого. И подумайте, как из этого вывести, с помощью элементарных операций с пределами, чему равен предел $\alpha(x)$.

[Dan B-Yallay]

lantza в сообщении #1127073 писал(а):

$$\lim\limits_{x \to x^0}{\dfrac{f(x)-f(x^0)-(\operatorname{grad}f(x^0),x-x^0)}{|x-x^0|}}=0 $$

Тогда с учетом того, что $\lim\limits_{x \to x^0}{(\operatorname{grad}f(x^0),x-x^0)}=0$, получаем
$\lim\limits_{x \to x^0}{\dfrac{f(x)-f(x^0)}{|x-x^0|}}=0$.

С чего это вдруг?

Из $\lim\limits_{x \to x^0}{(\operatorname{grad}f(x^0),x-x^0)}=0$ вовсе не следует, что

$$\lim\limits_{x \to x^0} \dfrac {(\operatorname{grad}f(x^0),x-x^0)}{|x-x^0|} =0.$$

Поэтому нельзя просто так взять и

lantza в сообщении #1127082 писал(а):

убрать позже член $(\operatorname{grad}f(x^0),x-x^0)$ в числителе

А Вы именно это и делаете, когда "получаете"

$$\lim\limits_{x \to x^0}{\dfrac{f(x)-f(x^0)}{|x-x^0|}}=0.$$

[ewert]

lantza в сообщении #1127082 писал(а):

А, понятно, нужно же понять, есть ли конечный предел $\lim\limits_{x \to x^0}{\dfrac{f(x)-f(x^0)}{|x-x^0|}}$,

Не нужно. От многая мудрости -- многия же и печали. Зачем пределу числителя предел частного?...