Расстояние на поверхности

[sh.m.]

Здравствуйте!
У меня возник весьма естественный вопрос из области дифференциальной геометрии: как найти расстояние между двумя точками, зная метрику поверхности. Есть формула для вычисления длины кривой. Хорошо. Насколько я понимаю, эта кривая должна быть геодезической. Так вот, итоговый вопрос: как найти геодезическую, проходящую через две точки? Если знаете ответ или какие-то другие способы вычислить расстояние, напишите, пожалуйста! :)

[demolishka]

Я не эксперт, но такие вещи должны решаться как задача вариационного исчисления.

[Yu_K]

Длина дуги на эллипсоиде

[Munin]

1. Напрямую. Искомая геодезическая будет кратчайшей из всех возможных линий, длины которых вы считать умеете.
2. Через коэффициенты связности (символы Кристоффеля). Они вычисляются через метрику. По сути, это то же, что и предыдущий способ, решённый как положено: от вариационного уравнения переходят к дифференциальному уравнению, где коэффициенты связности - как раз и дают нужные производные. Получается дифференциальное уравнение, для которого ставится граничная задача: линия должна выйти из одной заданной точки, и прийти в другую заданную точку.

[Red_Herring]

Следует помнить что двухточечная задача для ОДУ может иметь больше одного решения (включая бесконечное чило и даже непрерывное семейство решений).

[Munin]

Ну так и геодезических (в смысле решений вариационного уравнения) может быть несколько. Возьмём сферу, и попробуем найти геодезическую от одного её полюса до другого - вот и непрерывное семейство решений. И кратчайшего из них не выберешь, что самое неприятное.

[EXE]

Реальные задачи решаются численными методами. Есть весьма надёжные подходы. Много работ по поиску: “GEODESICS ON SURFACES”, “GEODESICS”, “GEODESICS CURVES”.

[SomePupil]

(Оффтоп)

EXE, Вы влипли.

[bot]

Munin в сообщении #1127134 писал(а):

Возьмём сферу, и попробуем найти геодезическую от одного её полюса до другого - вот и непрерывное семейство решений. И кратчайшего из них не выберешь, что самое неприятное.

А может наоборот - приятное?