Техника вычисления следов.

[Roxkisabsver]

Всем привет. Сразу к делу.
В задаче о рассеянии электронов возникает необходимость вычислить подобные слагаемые:

$Sp[\hat{p_1}\gamma^\mu\hat{p_2}\gamma^\nu]$ ; $Sp[\hat{p_2}\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}]$ ; $Sp[\gamma^{\mu}\hat{p_2}\gamma^{\nu}]$ .

У Льва Давидовича объяснено лишь взятие шпуров от некого кол-ва последовательно стоящих гамма матриц и от последовательно стоящих сверток $\gamma^{\rho} a_{\rho}$ обособленных гамма матрицами !с одинаковыми индексами. Соответственно встает вопрос о технике вычисления подобных вещей. Не могли бы уважаемые участники форума посоветовать литературу по технике вычисления следов или просто натолкнуть на верные мысли?

[Munin]

Ну, для двух последних - нельзя ли их под знаком шпура циклически переставить?

[amon]

Гляньте приложение 3 у Боголюбова-Ширкова "Введение в теорию квантованных полей" или дополнение 2 в книжке "Квантовые поля" тех же авторов. Должно помочь.

[physicsworks]

Roxkisabsver в сообщении #1126755 писал(а):

В задаче о рассеянии электронов возникает необходимость вычислить подобные слагаемые

в задаче о рассеянии двух электронов в древесном приближении возникают следы от произведения двух и четырех "перечеркнутых" (Feynman slash notation) импульсов, которые легко вычисляются (формулы приводятся в любом нормальном учебнике по КТП, вывести их можно самому из $\{\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\} = 2 g^{\mu \nu}$ и цикличности операции следа). Что в ваших обозначениях шляпки?

[Alex-Yu]

Roxkisabsver в сообщении #1126755 писал(а):

последовательно стоящих гамма матриц и от последовательно стоящих сверток $\gamma^{\rho} a_{\rho}$

Ну дык именно такие выражения у Вас и есть. По определению $\gamma^{\rho} a_{\rho} = \hat{a}$, а двойки-единички у $\hat{p}$ в Ваших выражениях --- это никак не лоренцевские индексы.

[Roxkisabsver]

Munin в сообщении #1126778 писал(а):

Ну, для двух последних - нельзя ли их под знаком шпура циклически переставить?

Если вы намекаете на антикоммутатор для $\gamma$ матриц, то прошу прощения, я не правильно записал индексы у импульсов. Предпоследнее выражение заменяю на $Sp[\hat{p_1}\gamma^\mu\gamma^\nu]$. Если же вы намекаете на нечто иное, то опять же простите, не понимаю смысла данного действа, ведь это будет просто перестановка и от этого гамма матрицы не свернутся и не исчезнут.

Alex-Yu в сообщении #1126872 писал(а):

Roxkisabsver в сообщении #1126755 писал(а):

последовательно стоящих гамма матриц и от последовательно стоящих сверток $\gamma^{\rho} a_{\rho}$

Ну дык именно такие выражения у Вас и есть. По определению $\gamma^{\rho} a_{\rho} = \hat{a}$, а двойки-единички у $\hat{p}$ в Ваших выражениях --- это никак не лоренцевские индексы.

Вы не правильно поняли, в книге объясняется взятие шпуров отдельно для последовательно стоящих гамма матриц и отдельно для последовательно стоящих сверток. Что же до индексов "двойки-единички", так это просто нумерация электронов до и после рассеяния.

[Alex-Yu]

Roxkisabsver в сообщении #1126883 писал(а):

Вы не правильно поняли, в книге объясняется взятие шпуров отдельно для последовательно стоящих гамма матриц и отдельно для последовательно стоящих сверток.

И в чем проблема? Ну, например, в последнем выражении вынесите числовой вектор $p_{2\sigma}$ из-под шпура.

[Roxkisabsver]

Alex-Yu в сообщении #1126912 писал(а):

...вынесите числовой вектор $p_{2\sigma}$ из-под шпура.

Хм, имею ли я на это право? Ведь этот вектор вносит изменения в структуру матриц, а значит вносит изменения и в диагональные элементы, которые затем нужно будет складывать. Почему я могу вынести этот вектор?

[Alex-Yu]

Roxkisabsver в сообщении #1126923 писал(а):

Почему я могу вынести этот вектор?

Потому, что по спинорнымм индексам (по которым шпур) он --- единичная матрица. Наличие единичной матрицы ни на что не влияет, что есть она, что ее нет --- все едино. Естественно, $\gamma^{\sigma}$ под шпуром останется. $\hat{p}=\gamma^{\sigma}p_{\sigma}$ вынести нельзя. А вот только $p_{\sigma}$ --- можно. Собственно здесь просто меняется порядок суммирования: или сначала по лоренцевым индексам, потом -- по спинорным, или наоборот.

[Roxkisabsver]

Alex-Yu

Спасибо. Вопрос исчерпан, я всё понял. Тема закрыта.

[Roxkisabsver]

Alex-Yu

Хотя, хотелось бы спросить: что за спинорные индексы? Это индексы у импульсов?

[Alex-Yu]

Roxkisabsver в сообщении #1127009 писал(а):

Хотя, хотелось бы спросить: что за спинорные индексы? Это индексы у импульсов?

Ну $\gamma^{\mu}$ это же МАТРИЦЫ. Т.е. наборы величин с двумя индексами: $\gamma^{\mu}_{ij}$. Вот $ij$ и есть спинорные индексы, пробегающие 4 значения каждый. А у импульсов (не свернутых с матрицами Дирака) спинорных индексов нет, или с таким же успехом можно считать, что они, импульсы, по этим индексам пропорциональны единичной матрице (умножение на которую не меняет НИЧЕГО).

[Munin]

В ЛЛ-4 спинорные индексы обозначаются (прямыми) греческими буквами, с точками и без. А как сегодня общепринято?

[physicsworks]

Munin, кто как, но обычно для четырехкомпонентного дираковского поля используют греческие, а для двукомпонентного вейля латинские с точкой или без в зависимости от того по какому представлению---$(0,1/2)$ или $(1/2,0)$---группы Лоренца они преобразуются. Но часто для последних тоже используют греческие буквы, например, в SUSY.

-- 30.05.2016, 23:06 --

Вот шляпки точно мало где используют (особенно так, как выше). Ими обычно обозначают единичные векторы. Такое чувство что эти шляпки в других контекстах только в советской литературе и используют. Особенно ими любят загромождать выражения, содержащие операторы (в квантовой механике и КТП), когда и так по смыслу понятно, что оператор, а что нет.