Система трёх дифференциальных уравнений

[sergei1961]

Рассматривается простейшая система линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Для системы из двух уравнений вида

$$ x'(t)=3x+5y, y'(t)=2x-3y $$

проще всего свести к одному уравнению методом исключения. Для системы третьего порядка в стандартном решении нужна алгебра-собственные числа и вектора.
Вопрос: как применить метод исключения без собственных векторов и для системы из трёх уравнений вида

$$ x'(t)=3x+5y+z, y'(t)=2x-3y-z, z'(t)=2x+3y+4z? $$

Понятно, что приведённые числа условны.

[g______d]

sergei1961 в сообщении #1020951 писал(а):

Для системы из двух уравнений

sergei1961 в сообщении #1020951 писал(а):

проще всего свести к одному уравнению методом исключения.

А можно подробнее для двух уравнений?

[ewert]

Почему идея свести систему к одному уравнению должна выглядеть как минимум подозрительной?

Потому, что у системы и у одного уравнения высшего порядка при одних и тех же корнях характеристического уравнения разные, вообще говоря, структуры решений: при наличии кратного корня для одного уравнения обязательно появятся слагаемые вида $t\,e^{\lambda t}$, а для системы -- лишь тогда, когда матрица в правой части не диагонализуема.

При $n=2$ это не страшно: если матрица имеет кратное собственное число и при этом диагонализуема, то она попросту скалярна, т.е. в одном уравнении есть только иксы, в другом -- только игреки.

А вот начиная с $n=3$ уже увы.

[sergei1961]

Подробнее для двух: выразить $x$ из второго, вычислить $x'$ и подставить в первое.

ewert-наверное, Вы правы, но жаль, что так для трёх.

[sergei1961]

Что ж, остаётся ждать, что кто-то знает или придумает метод решения, аналогичный простым подстановкам и исключению, без спектральных характеристик матрицы и матричной экспоненты. Понятно, что это должен быть эквивалентный спектральным метод, но сформулированный иначе в обход этих понятий.

Ждём: метод Гаусса для простейших систем дифференциальных уравнений!

Кстати, методический вопрос: как правильно полностью называется написанная выше система? Понятно, что система линейных ДУ однородная первого порядка-для специфического такого вида есть общепринятое название и где посмотреть в уважаемых учебниках?

[ewert]

sergei1961 в сообщении #1021415 писал(а):

метод решения, аналогичный простым подстановкам и исключению, без спектральных характеристик

Это Вы хотите формул Кардано, но реализованных только арифметическими операциями.

[sergei1961]

Не совсем аккуратно выражаете то, что я хочу. Кардано-это уже решение уравнения. А тут достаточно его просто для одной из функций написать. Решать дифур третьего порядка для одной функции будем считать, что мы умеем. А чтобы просто выписать уравнение кубическое-как раз арифметики хватает, тут аналогия не совсем работает.
Хорошо, уточню свой вопрос. Как в подобной системе методом исключения перейти к одному дифференциальному уравнению для одной из функций? Дальнейшее считаем, что умеем (решить это уравнение, подставить найденную функцию, понизить порядок системы). В такой подстановке задача представляется не безнадёжной, как мне кажется.

[ewert]

sergei1961 в сообщении #1021418 писал(а):

Как в подобной системе методом исключения перейти к одному дифференциальному уравнению для одной из функций?

Перевожу на русский: как методом исключения выделить собственное подпространство?

[Someone]

sergei1961 в сообщении #1020951 писал(а):

Вопрос: как применить метод исключения без собственных векторов и для системы из трёх уравнений вида

Есть у нас система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (не обязательно однородная):

$$\begin{cases}x'=\ldots,\\ y'=\ldots,\\ z'=\ldots\end{cases}\eqno(1)$$

(штрихи, как у Вас, обозначают производные по $t$).
Дифференцируем первое уравнение по $t$ и в правой части подставляем выражения $x',y',z'$ из системы (1). Вместе с первым уравнением системы (1) получаем систему

$$\begin{cases}x'=\ldots,\\ x''=\ldots\end{cases}\eqno(2)$$

(в правых частях всё выражено через $x,y,z$ и, возможно, $t$, если система неоднородная).
Теперь пытаемся выразить из системы (2) и $y$, и $z$. Если исключить тривиальные случаи, могут быть два варианта.
1) Получились выражения

$$\begin{cases}y=\ldots,\\ z=\ldots\end{cases}\eqno(3)$$

(в правых частях всё выражено через $x,x',x''$ и, возможно, $t$).
Тогда дифференцируем по $t$ повторно второе уравнение системы (2), подставляем в него выражения для $y'$ и $z'$ из системы (1), потом исключаем $y$ и $z$ с помощью (3) и получаем для $x$ дифференциальное уравнение третьего порядка.
Решив уравнение, находим $x$, затем с помощью (3) получаем $y$ и $z$.
2) Правые части уравнений системы (2) пропорциональны, поэтому выразить $y$ и $z$ нельзя. Зато в этом случае $y$ и $z$ исключаются из системы (2), что даёт для $x$ дифференциальное уравнение второго порядка.
Находим $x$, подставляем его в первое уравнение системы (2), выражаем $y$ через $x,x',z,t$, подставляем $x$ и $y$ в третье уравнение системы (1) и получаем для $z$ дифференциальное уравнение первого порядка.
Находим $z$, потом $y$ (он выражен через $x,x',z,t$).
P.S. Процедура обобщается на любое число уравнений.

[sergei1961]

Пока такой вопрос. При нахождении $y,z$ решаем линейную систему. По Крамеру ответ будет дробно-рациональной функцией от всего оставшегося. Подставим дроби в другие уравнения-разве они останутся линейными?

[Someone]

sergei1961 в сообщении #1021526 писал(а):

При нахождении $y,z$ решаем линейную систему. По Крамеру ответ будет дробно-рациональной функцией от всего оставшегося.

Простите, а Вы когда-нибудь решали систему линейных уравнений методом Крамера? Может быть, хоть теперь попробуете? И напишете нам результат.

[sergei1961]

На этом сайте как будто всех хамов с инета собрали с манией величия.

[Someone]

Чем выискивать хамов, лучше бы попробовали решить систему и посмотрели, получается ли там "дробно-рациональная функция". Дело-то нескольких минут требует.

[Lia]

sergei1961 в сообщении #1021621 писал(а):

На этом сайте как будто всех хамов с инета собрали с манией величия.

sergei1961 Предупреждение за недопустимые формы ведения дискуссии.

[sergei1961]

Someone
-пересмотрел ещё раз этот вопрос и приношу Вам своё искреннее извинение. Я был не прав и по существу вопроса, и тем более по недопустимой форме выражения. Сам схамил, признаю. Ещё раз, извините.