Нормальность упорядоченных множеств

[ikozyrev]

По теореме Цермело - "Всякое множество можно (вполне) упорядочить".
Но, так как всякое упорядоченное пространство - нормально, то тогда получается что всякое множество можно сделать нормальным пространством (задав порядок и интервальную топологию на нем)? Я прав?

[grizzly]

ikozyrev
Напомните, пожалуйста, определение нормального множества (лучше с ссылкой на источник). Беглым поиском я нашёл только в книге Лебега, но что-то не похоже по контексту на нужное.

[ikozyrev]

grizzly в сообщении #1125922 писал(а):

ikozyrev
Напомните, пожалуйста, определение нормального множества (лучше с ссылкой на источник). Беглым поиском я нашёл только в книге Лебега, но что-то не похоже по контексту на нужное.

Извиняюсь, не множество а пространство. Тогда исходная послыка будет звучать так:
По теореме Цермело - "Всякое множество можно (вполне) упорядочить".
Соответсвенно, задав на этом упорядоченном множестве интервальную топологию, превращаем его в упорядоченное пространство.
А всякое упорядоченное пространство - нормально.
Нормальным называется такое $T_1$ пространство, в котором у любых двух дизъюнктых замнкутых множеств есть непересекающиеся окрестности.

[grizzly]

ikozyrev
А, ну тогда всё правильно.

[ikozyrev]

grizzly в сообщении #1125930 писал(а):

ikozyrev
А, ну тогда всё правильно.

Тогда следующий вопрос - можно ли это утверждение применить к доказательcтву следующего утверждения (из книги Александрова, где он предлагает доказать его читателю):
Для всякого подмножества $Y$ упорядоченного пространства $X$ существует такое упорядоченное пространство $Z$, которое содержит $Y$ в качестве замкнутого подпространства. При этом можно считать, что $Z\subseteq X$.

Думаю доказать так: упорядочиваем $Y$ (это возможно по теореме Цермело), и вводим порядковую топологию на нем, обозначая его $Z$. Тогда $Z$ - упорядочено и $Y$ - замкнуто в $Z$ так как $Z$ содержит все точки (и только их) $Y$.

[mihaild]

ikozyrev в сообщении #1125935 писал(а):

Тогда $Z$ - упорядочено и $Y$ - замкнуто в $Z$

Только $Z$ и $X$, вообще говоря, индуцируют на $Y$ разную топологию - а, скорее всего, имелось в виду что $Z$ содержит $Y$ как топологическое подпространство (а не просто подмножество).

[ikozyrev]

mihaild в сообщении #1125941 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1125935 писал(а):

Тогда $Z$ - упорядочено и $Y$ - замкнуто в $Z$

Только $Z$ и $X$, вообще говоря, индуцируют на $Y$ разную топологию - а, скорее всего, имелось в виду что $Z$ содержит $Y$ как топологическое подпространство (а не просто подмножество).

То есть в исходной формулировке $Y$ - подмножество а не подпространство. Там у него как раз есть пример подмножества упорядоченного множества, которое само не упорядочено в топологии родительского множества.

Я так понял что фраза "Можно считать что $Z\subseteq X$" - означает что $Z$ может иметь другую топологию чем $X$.

[Someone]

ikozyrev в сообщении #1125925 писал(а):

Соответсвенно, задав на этом упорядоченном множестве интервальную топологию, превращаем его в упорядоченное пространство.
А всякое упорядоченное пространство - нормально.

Если цель состоит в том, чтобы на всяком множестве задать нормальную топологию, то это стрельба из пушки по воробьям. Можно просто взять дискретную топологию (это та, в которой все подмножества являются открытыми).

ikozyrev в сообщении #1125935 писал(а):

Думаю доказать так: упорядочиваем $Y$ (это возможно по теореме Цермело), и вводим порядковую топологию на нем, обозначая его $Z$. Тогда $Z$ - упорядочено и $Y$ - замкнуто в $Z$ так как $Z$ содержит все точки (и только их) $Y$.

Здесь осложнение такое: отношение линейного порядка и топология на множестве $X$ индуцируют, соответственно, отношение линейного порядка и топологию на множестве $Y$; беда в том, что индуцированный порядок запросто может определять топологию, отличающуюся от индуцированной топологии.

ikozyrev в сообщении #1125945 писал(а):

Я так понял что фраза "Можно считать что $Z\subseteq X$" - означает что $Z$ может иметь другую топологию чем $X$.

Вообще-то, задача имеет смысл только в том случае, если $Z$ имеет линейный порядок и топологию, индуцированные из $X$, причём, индуцированный порядок определяет индуцированную топологию.

[ikozyrev]

Цитата:

Вообще-то, задача имеет смысл только в том случае, если $Z$ имеет линейный порядок и топологию, индуцированные из $X$, причём, индуцированный порядок определяет индуцированную топологию.

А почему тогда употреблен термин "можно считать"?

[Someone]

ikozyrev в сообщении #1125956 писал(а):

А почему тогда употреблен термин "можно считать"?

Потому что можно же придумать и такое $Z$, которое не содержится в $X$.

[ikozyrev]

Цитата:

Здесь осложнение такое: отношение линейного порядка и топология на множестве $X$ индуцируют, соответственно, отношение линейного порядка и топологию на множестве $Y$; беда в том, что индуцированный порядок запросто может определять топологию, отличающуюся от индуцированной топологии.

Но если топология $Y$ - отличается от топологии $X$, а $Z$ по условию задачи должна иметь такую же тополгию что и $X$ - тогда получается что топоплогия $Y$ отилчается от топологии $Z$ - а значит $Y$ не является подпространством $Z$?

Или же задача как раз в том чтобы доказать что на $Y$ всегда можно построить топологию такую же как в $X$ (и $Z$)?

[Someone]

ikozyrev в сообщении #1125961 писал(а):

Но если топология $Y$ - отличается от топологии $X$, а $Z$ по условию задачи должна иметь такую же тополгию что и $X$

Я не понимаю, о чём Вы. Если $Y$ — подмножество $X$, то топология нм множестве $X$ автоматически индуцирует топологию на его подмножестве $X$. И если прямо не сказано что-то другое, то именно индуцированная топология и предполагается на множестве $Y$. То же самое касается и отношения порядка. То же самое касается и множества $Z$. Обратите внимание: индуцированная топология, а не "та же самая" или "такая же".

[ikozyrev]

Someone в сообщении #1125963 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1125961 писал(а):

Но если топология $Y$ - отличается от топологии $X$, а $Z$ по условию задачи должна иметь такую же тополгию что и $X$

Я не понимаю, о чём Вы. Если $Y$ — подмножество $X$, то топология нм множестве $X$ автоматически индуцирует топологию на его подмножестве $X$. И если прямо не сказано что-то другое, то именно индуцированная топология и предполагается на множестве $Y$. То же самое касается и отношения порядка. То же самое касается и множества $Z$. Обратите внимание: индуцированная топология, а не "та же самая" или "такая же".

Тогда прошу помощи в том чтобы разобраться что такое индуцированная топология. Например, пусть упорядоченное пространство $X$ - отрезок $[-1;1]$ числовой прямой. Если мы определим подпространство $Z$ как $[-1;0)\cup (0;1]$ - будет ли оно упорядоченным в индуцированной из $X$ топологии?

[Anton_Peplov]

ikozyrev в сообщении #1126185 писал(а):

Тогда прошу помощи в том чтобы разобраться что такое индуцированная топология.

Пусть $X$ - пространство-носитель, $\{O\}$ - заданная на нем система открытых множеств (топология) и $A \subset X$. Тогда система множеств $\{O \cap A\}$ образует топологию на пространстве-носителе $A$. Она называется топологией, индуцированной в $A$ топологией $X$, а $A$ - подпространством $X$. Это написано в любом учебнике общей топологии в разделе "подпространства".

[ikozyrev]

Anton_Peplov в сообщении #1126206 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1126185 писал(а):

Тогда прошу помощи в том чтобы разобраться что такое индуцированная топология.

Пусть $X$ - пространство-носитель, $\{O\}$ - заданная на нем система открытых множеств (топология) и $A \subset X$. Тогда система множеств $\{O \cap A\}$ образует топологию на пространстве-носителе $A$. Она называется топологией, индуцированной в $A$ топологией $X$, а $A$ - подпространством $X$. Это написано в любом учебнике общей топологии в разделе "подпространства".

Ну определение то я знаю, просто хочу понять как это работает в случае упорядоченных пространств и порядковых топологий на них.