Переход от двойного интеграла к одинарному

[likusta]

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, как вычислить интеграл.
$\int\limits_0^{+\infty} e^{-px}\frac{\partial{F(x,t)}}{\partial{x}}\int\limits_0^{+\infty}A(y)(F(x+y,t)-F(x+y-h,t))dydx$. Известно, что функция $F(x,t)$ принимает значения от $0$ до $1$, монотонно возрастает по $x$ при фиксированном t. $A(y)$ - монотонно убывает, $A(0)=1$, $A(+\infty)=0$ и $h\to 0$.

[Dan B-Yallay]

likusta в сообщении #1125661 писал(а):

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, как вычислить интеграл.

$$\int\limits_0^{+\infty} e^{-px}\textcolor{blue}{\frac{\partial{F(x,t)}}{\partial{x}}}\int\limits_0^{+\infty}A(y)(F(x+y,t)-F(x+y-h,t))dydx$$

. Известно, что функция $F(x,t)$ принимает значения от $0$ до $1$, монотонно возрастает по $x$ при фиксированном t. $A(y)$ - монотонно убывает, $A(0)=1$, $A(+\infty)=0$ и $h\to 0$.

Выделенное синим намекает на то, что функция $F$ еще и дифференцируема по первому аргументу.
Это так?

[likusta]

Dan B-Yallay в сообщении #1125678 писал(а):

likusta в сообщении #1125661 писал(а):

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, как вычислить интеграл.

$$\int\limits_0^{+\infty} e^{-px}\textcolor{blue}{\frac{\partial{F(x,t)}}{\partial{x}}}\int\limits_0^{+\infty}A(y)(F(x+y,t)-F(x+y-h,t))dydx$$

. Известно, что функция $F(x,t)$ принимает значения от $0$ до $1$, монотонно возрастает по $x$ при фиксированном t. $A(y)$ - монотонно убывает, $A(0)=1$, $A(+\infty)=0$ и $h\to 0$.

Выделенное синим намекает на то, что функция $F$ еще и дифференцируема по первому аргументу.
Это так?

Да, она дважды дифференцируема по t и по x.

[Dan B-Yallay]

Попробуйте применить Теорему о средмен значении к

$$F(x+y,t)-F(x+y-h,t)$$

-- Вт май 24, 2016 12:49:47 --

И что еще известно про функцию $A$? Kак быстро убывает? Дифференцируема?

[likusta]

Dan B-Yallay в сообщении #1125691 писал(а):

Попробуйте применить Теорему о средмен значении к

$$F(x+y,t)-F(x+y-h,t)$$

-- Вт май 24, 2016 12:49:47 --

И что еще известно про функцию $A$? Kак быстро убывает? Дифференцируема?

$A(x)$ можно выбрать, например, $e^{-\alpha y}$, где $\alpha$ - действительное.

[Dan B-Yallay]

likusta в сообщении #1125696 писал(а):

$A(x)$ можно выбрать, например, $e^{-\alpha y}$, где $\alpha$ - действительное.

Хорошо.

Что получается со средним значением?

[likusta]

Dan B-Yallay в сообщении #1125700 писал(а):

likusta в сообщении #1125696 писал(а):

$A(x)$ можно выбрать, например, $e^{-\alpha y}$, где $\alpha$ - действительное.

Хорошо.

Что получается со средним значением?

Не получается, не ясно как удачно можно применить.

[Dan B-Yallay]

Тогда попробуйте применить её неудачно. Полное решение давать запрещено правилами.
Постарайтесь.

[DeBill]

likusta в сообщении #1125661 писал(а):

и $h\to 0$.

Следует ли это понимать так, что вычислить надо предел, а не сам интеграл? Или асимптотику интеграла?
Если предел - то ....
Сам интеграл сосчитать - совершенно дохлый номер.
Да и с асимптотикой - тоже не больно хорошо. Хотя что-то иногда и можно....

[likusta]

DeBill в сообщении #1125715 писал(а):

likusta в сообщении #1125661 писал(а):

и $h\to 0$.

Следует ли это понимать так, что вычислить надо предел, а не сам интеграл? Или асимптотику интеграла?
Если предел - то ....
Сам интеграл сосчитать - совершенно дохлый номер.
Да и с асимптотикой - тоже не больно хорошо. Хотя что-то иногда и можно....

Асимптотика.

Dan B-Yallay в сообщении #1125713 писал(а):

Тогда попробуйте применить её неудачно. Полное решение давать запрещено правилами.
Постарайтесь.

Если рассматриваем при фиксированном $t$, можем ли методом интегрирования по частям, при каком-нибудь A(y), возвратный интеграл?
$\int\limits_0^{\infty}e^{-px}\bigg[\int\limits_0^{\infty} A(y)(F(x+y,t)-F(x+y-h,t))dy\bigg]\frac{\partial F(x,t)}{\partial x}dx =\int\limits_0^{\infty}e^{-px}\bigg[\int\limits_0^{\infty} A(y)(F(x+y,t)-F(x+y-h,t))dy\bigg]dF(x,t)=e^{-px}\bigg[\int\limits_0^{\infty} A(y)(F(x+y,t)-F(x+y-h,t))dy\bigg]F(x,t)\bigg|_0^{\infty}-\int\limits_0^{\infty}[e^{-px}\bigg\int\limits_0^{\infty} A(y)(F(x+y,t)-F(x+y-h,t))dy\bigg] \bigg|_x' F(x,t)dx $

[Dan B-Yallay]

Если нужна асимптотика, то я - пас.
Если нужeн предел, то он зависит от того, суммируема или нет функция $A(y)$. Раз вы предложили

likusta в сообщении #1125696 писал(а):

$A(x)$ можно выбрать, например, $e^{-\alpha y}$, где $\alpha$ - действительное.

то я думаю, что $A(y)$ - суммируема и предел тогда очевиден.

[DeBill]

likusta в сообщении #1125723 писал(а):

Асимптотика.

Ага. Ну тогда, при $\alpha =2p$, можно чуть-чуть продвинуться ("сосчитать" первый член асимптотики ):
1. Приращение $F$ в скобках выразить через производную $f$ от $F$
2. В двойном интеграле - сделать замену $z=x+y$, расставить пределы
3. Обозначая через $\Phi (z)$ первообразную $\int\limits_{z}^{\infty} e^{-px} \cdot f(x) dx$, видим, что двойной интеграл имеет вид типа $\int\limits_{0}^{\infty} \Phi (x)\cdot \Phi '(x) dx $ - считается!
4. $\Phi (0) $ - это преобразование Лапласа от $f$ в точке $p$. Его можно выразить через пр-е Лапласа от $F$ ...
Но это все, что удается сделать.
Может, и второй член асимптотики удастся посчитать. Не смотрел. Но чем дальше в лес, тем дров будет больше... И это - только при спец. значении параметра.
В общем случае - сильно сомневаюсь, что будет хоть что-то хорошее.