Найти точку на эллипсоиде ближайшую к плоскости?

[dima_1985]

Всем привет!! Не могу разобраться как найти точку на эллипсоиде ближайшую к плоскости? С плоскостью и точкой нагуглил, а с плоскостью и эллипсоидом никакой информации не нашел.Помогите разобраться

[Sonic86]

(глупость удалена)

[Cash]

Я, возможно, не понял сложности этой задачи, но разве трудно найти касательную плоскость к эллипсоиду, параллельную данной?

[worm2]

Тоже сначала подумал, что только численно, однако прикинул, и получается достаточно простое решение.
Я уж приведу алгоритм для топикстартера, не пропадать же добру.

1) Кратчайшее расстояние — это по прямой.
2) Если поверхности гладкие (к счастью, в нашем случае это так), то отрезок, соединяющий ближайшие друг к другу точки поверхностей, будет перпендикулярен касательным к обеим поверхностям в этих точках. То есть, этот отрезок одновременно будет нормалью как к плоскости, так и к касательной к эллипсоиду. Уравнение плоскости (как данной, так и касательной) легко записать так, чтобы этот нормальный вектор очень легко записывался (умеете?).
3) Нормаль к гладкой поверхности, записываемой неявным уравнением $F(x, y, z)=0$ в точке $M=(x_M, y_M, z_M)$, если $F$ достаточно гладкая (тоже наш случай), есть вектор

$$(n_x, n_y, n_z)=\left(\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z}\right),$$

где все производные берутся в точке $M$.

Этот вектор должен быть параллелен нормали к плоскости $(A, B, C)$, т.е. $n_x=At$, $n_y=Bt$, $n_z=Ct$, где $t$ — некоторое число. Добавляя сюда уравнение принадлежности точки $M$ эллипсоиду, находим $t$, а затем и саму точку касания $M$. Получилась задача на расстояние от точки до плоскости.

Нужно применить этот алгоритм к Вашему случаю (записать уравнения плоскости и эллипсоида, подставить их в уравнения и решить их). Это должно быть Вашим трудом, т.к. правила форума запрещают выкладывать полное решение учебной задачи.

[EXE]

Расстояние между точками: координаты одной точки принадлежат эллипсоиду, координаты другой – плоскости.
Минимум функции шести переменных при ограничениях.
Для любых пар поверхностей.

[iifat]

worm2 в сообщении #1125336 писал(а):

отрезок, соединяющий ближайшие друг к другу точки поверхностей, будет перпендикулярен касательным к обеим поверхностям в этих точках

Точно? Не, когда речь идёт о плоскости и выпуклой поверхности — верю, но в общем случае как-то, имхо, сомнительно. Пошёл думать.

[worm2]

Точно, нужна только гладкость. Потому что гладкая поверхность локально похожа на плоскость, и если эта плоскость повёрнута не перпендикулярно отрезку, то этот отрезок можно в каком-то направлении чуть пошевелить и приблизить.

[dima_1985]

Спасибо огромное!У меня возникли некоторые проблемы, вот мои исходные данные
уравнение эллипсоида $2X^2+Y^2+3Z^2=16$, уравнение плоскости $X+Y+Z=34$. Делал по алгоритму worm2( спасибо за алгоритм) и получил следующую систему
$ \begin{cases} X=T/4 \\ Y=T/2 \\ Z=T/6 \\ 2X^2+Y^2+3Z^2=16 \end{cases} $.

Но меня смущает что вектор $ n_{x},n_{y},n_{z}=\pm\sqrt{\dfrac{384}{11}}, \pm\sqrt{\dfrac{384}{11}}, \pm\sqrt{\dfrac{384}{11}} $.У меня возникает подозрение, что я что-то не совсем понял в описанном алгоритме? Какие значения брать с плюсом или с минусом ?

[EXE]

dima_1985, Вам для проверки непосредственно точка на данном эллипсоиде
(1.47709789, 2.95419578, .98473192), ближайшая к данной поверхности.
(Можно и точные значения.)

[TOTAL]

dima_1985 в сообщении #1125566 писал(а):

$ \begin{cases} X=T/4 \\ Y=T/2 \\ Z=T/6 \\ 2X^2+Y^2+3Z^2=16 \end{cases} $.

Но меня смущает что вектор $ n_{x},n_{y},n_{z}=\pm\sqrt{\dfrac{384}{11}}, \pm\sqrt{\dfrac{384}{11}}, \pm\sqrt{\dfrac{384}{11}} $.У меня возникает подозрение, что я что-то не совсем понял в описанном алгоритме? Какие значения брать с плюсом или с минусом ?

Не смущайтесь и не подозревайте. А найдите из уравнений $X, Y, Z$, оставив из них тот набор, который "лучше" удовлетворяет уравнению плоскости.

[worm2]

Да, всё так. Тут, возможно, есть непонимание, что знаки не независимы, либо везде будет плюс, либо везде минус.

Но взяв один знак, мы получим ближайшую точку, а взяв другой — наоборот, наиболее удалённую. Можно честно для обеих точек расстояние посчитать и взять которое меньше. А можно воспользоваться геометрической интуицией и грубо прикинуть, с какой стороны от плоскости $X+Y+Z=34$ будет эллипсоид и сразу взять нужный знак. Могло, кстати, получиться и так, что эллипсоид пересекает плоскость, в этом случае расстояние будет равно 0

[dima_1985]

Всем огромное спасибо получилось 16,5029.Спасибо worm2 за подробный алгоритм. Но я не до конца понял подход EXE. Его подход более универсальный.Что я понял: 1) берем точку на эллипсоиде 2) берем точку на плоскости. Получаем систему уравнений
$ \begin{cases} 2X_{0}^2+Y_{0}^2+Z_{0}^2=16 \\ X_{1}+Y_{1}+Z_{1}=34 \end{cases} $.
Надо минимизировать $d=\sqrt{ (X_{1}-X_{0})^2+(Y_{1}-Y_{0})^2+(Z_{1}-Z_{0})^2 }$. Как минимизировать? Какие есть подходы? Если не прав в рассуждениях поправьте.

[redicka]

Лично я решал по-другому:
-разрешил уравнения плоскости и эллипсоида относительно z
-нашел производные по x и y от обеих функций
- для плоскости обе частные производные постоянны и равны -1
-приравнял производные от от функции задающей эллипс минус единице
-решил систему, получил координаты x и y точки на эллипсоиде , в которой касательная плоскость
параллельна заданой
- подставил x и y в уравнение эллипса и нашел z т.е. точку,которая ближе всего расположена к заданной плоскости
- нашел расстояние точки до плоскости
Можно решать методом Лагранжа, но задача сводится к системе восьми нелинейным уравнениям, которые решить непросто

[Brukvalub]

dima_1985 в сообщении #1125653 писал(а):

Как минимизировать? Какие есть подходы?

Нужный подход рассматривается, например, в курсах математического анализа и называется "метод множителей Лагранжа для решения задач на условный экстремум функций нескольких переменных".

[svv]

Я бы ставил задачу на условный экстремум так: найти точку максимума функции $x+y+z$ при условии $2x^2+y^2+3z^2=16$ .