Электричество, эквивалентные цепи

[ewert]

(Оффтоп)

prof.uskov в сообщении #1123809 писал(а):

Напряжение между узлом центральной вертикальной оси и любой из клемм источника напряжения будет равно 1/2 напряжения питания, в силу симметрии схемы относительно вертикальной оси,

Почему?...

Там нужно менять знак ЭДС, менять в соответствии с ним знаки потенциалов и потом выписывать равенство после сокращения знаков. Короче -- пыхтеть, червей скрещивать, как говорил классик (когда-то).

А вот при отражении относительно оси горизонтальной -- ровно ничего этого не нужно.

[prof.uskov]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1123812 писал(а):

prof.uskov в сообщении #1123809 писал(а):

Напряжение между узлом центральной вертикальной оси и любой из клемм источника напряжения будет равно 1/2 напряжения питания, в силу симметрии схемы относительно вертикальной оси,

Почему?...

Там нужно менять знак ЭДС, менять в соответствии с ним знаки потенциалов и потом выписывать равенство после сокращения знаков. Короче -- пыхтеть, червей скрещивать, как говорил классик (когда-то).

А вот при отражении относительно оси горизонтальной -- ровно ничего этого не нужно.

Не нужно нигде пыхтеть, выписывать и пр., равенство потенциалов трех центральных узлов очевидно, в силу симметрии относительно вертикальной оси - и на правой и на левой половине схемы падают одинаковые напряжения, равные половине ЭДС источника.

[lantza]

Господа, а бы вы не могли пояснить, как из симметрии следует равенство потенциалов в точках симметрии?
Всегда задавался этим вопросом в общем случае, но никак не мог найти (в гугле, в учебниках) внятного ответа на этот вопрос.

[ewert]

lantza в сообщении #1124621 писал(а):

Всегда задавался этим вопросом в общем случае, но никак не мог найти (в гугле, в учебниках) внятного ответа на этот вопрос.

А в общем случае ничто, и никогда, и ни в жисть -- не воспоследует.

В общем случае -- необходимо разбираться в каждом конкретном случае отдельно. В каждом общем.

[Munin]

lantza в сообщении #1124621 писал(а):

Господа, а бы вы не могли пояснить, как из симметрии следует равенство потенциалов в точках симметрии?

Из симметрии следует $\varphi(x)=A\varphi(Bx),$ где $A$ - преобразование симметрии, действующее на потенциал, а $B$ - преобразование симметрии, действующее на точку.

Например, для симметрии отражения относительно горизонтальной оси $A\varphi=\varphi$ в соответствующих точках. А для симметрии отражения относительно вертикальной оси (которую ewert почему-то счёл сложно обосновываемой) $A\varphi=\varphi_\mathrm{m}-(\varphi-\varphi_\mathrm{m}),$ где $\varphi_\mathrm{m}$ - потенциал на вертикальной оси, полусумма потенциалов на выходах источника питания.

А $Bx$ в данном случае - просто другая точка чертежа, симметричная данной.

[ivvan]

Munin в сообщении #1124647 писал(а):

Из симметрии следует $\varphi(x)=A\varphi(Bx),$

При единственности решения.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1124647 писал(а):

(которую ewert почему-то счёл сложно обосновываемой) $A\varphi=\varphi_\mathrm{m}-(\varphi-\varphi_\mathrm{m}),$

а просто потому что там две скобки и два минуса, это довольно много, по сравнению с симметриями воистину тривиальными

[specialist]

Munin в сообщении #1124647 писал(а):

lantza в сообщении #1124621 писал(а):

Господа, а бы вы не могли пояснить, как из симметрии следует равенство потенциалов в точках симметрии?

Из симметрии следует $\varphi(x)=A\varphi(Bx),$ где $A$ - преобразование симметрии, действующее на потенциал, а $B$ - преобразование симметрии, действующее на точку.

Например, для симметрии отражения относительно горизонтальной оси $A\varphi=\varphi$ в соответствующих точках. А для симметрии отражения относительно вертикальной оси (которую ewert почему-то счёл сложно обосновываемой) $A\varphi=\varphi_\mathrm{m}-(\varphi-\varphi_\mathrm{m}),$ где $\varphi_\mathrm{m}$ - потенциал на вертикальной оси, полусумма потенциалов на выходах источника питания.

А $Bx$ в данном случае - просто другая точка чертежа, симметричная данной.

А мне интересно, про симметрии, вы откуда информацию подчерпнули? из какого раздела математики? (просто в тоэ я такую формулировку еще не встречал).

[Munin]

Вообще симметриями занимается теория групп. Но тут это перебор, я использовал эту символику как "из пушки по воробьям".

[svv]

В этой задаче я тоже использовал «соображения симметрии». Вот более подробное описание моих рассуждений.

В этой схеме по красной перемычке течёт ток $I$ (считая положительным, допустим, направление сверху вниз). Изобразим ту же схему симметрично относительно синей прямой. Каждое сопротивление, каждый узел и каждая ветвь займёт новое положение, симметричное относительно старого. В результате отражения поменяются местами начало и конец красной перемычки, и ток через перемычку на новом рисунке должен сменить знак. С другой стороны, после отражения мы получили ту же цепь, поэтому и ток должен сохранить значение. Значит, ток равен нулю.

Действительно, здесь используется единственность решения (например, к мультивибратору эти рассуждения неприменимы).

[ivvan]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1125183 писал(а):

к мультивибратору эти рассуждения неприменимы

Правильно я понимаю, что там различные решения соответствуют разным режимам работы транзисторов (или чего другого)? Если рассматривать участок цепи, состоящий только из сопротивлений, как вывести единственность значений напряжений и токов при заданных потенциалах на концах?

[svv]

ivvan
Касательно мультивибратора: я имел в виду, что есть различные решения, которые отличаются простым сдвигом во времени. Два идентичных по конструкции мультивибратора могут иметь «сдвиг по фазе». Раз единственности нет, аналогичное рассуждение неприменимо, и при симметричной конструкции в каждый данный момент могут быть (и есть) несимметричные токи и напряжения.

ivvan в сообщении #1125673 писал(а):

как вывести единственность значений напряжений и токов при заданных потенциалах на концах?

Попробуйте так: из линейности закона Ома и уравнений Кирхгофа покажите, что если при заданных потенциалах на концах существуют два разных решения, то при нулевых потенциалах на концах существует решение (разность этих двух) с ненулевыми токами. Далее покажите, что это невозможно (подсказка: где-то должен быть максимальный потенциал; аналогия с уравнением Лапласа: гармоническая функция не может иметь экстремум внутри области).

Между прочим, это таки возможно, если некоторые сопротивления нулевые или отрицательные. Вот и условие единственности: таковые должны отсутствовать.

[Cos(x-pi/2)]

(Оффтоп)

Мультивибратор наводит на мысль о триггере - тоже пример того, что система может иметь симметричную конструкцию, а её устойчивые состояния несимметричны; в этом примере состояния статичны.

[AnatolyBa]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1125718 писал(а):

Мультивибратор наводит на мысль о триггере

Симметричный триггер действительно более простой пример. Причина наличия двух статических решений - нелинейность уравнений.

svv в сообщении #1125702 писал(а):

Далее покажите, что это невозможно (подсказка: где-то должен быть максимальный потенциал

По моему несколько проще успользовать энергетические соображения.

[specialist]

svv в сообщении #1125702 писал(а):

Между прочим, это таки возможно, если некоторые сопротивления нулевые или отрицательные. Вот и условие единственности: таковые должны отсутствовать.

единственность решения, будет и при и при нулевых и отрицательных сопротивлениях, вообще конечно забавный вопрос, если не подключать реальные модели резисторов, то доказательство о единственности будет вытекать из из единственности решения по линейным уравнениям Киргофа, как только появится хотя бы один нелинейный элемент или даже реактивный элемент, то единственность теряется, и необходимы начальные условия.