2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнения Фредгольма и Вольтерра
Сообщение22.05.2016, 13:42 


22/05/16
7
Приветствую!
При решении уравнений столкнулся со следующими проблемами:
1) Решить методом сведения к алгебраическим уравнениям
$\varphi(x)=15\int_{-1}^1 (t(x^2-1)+x(t^2+t))\varphi(t)\, dt+4-9x-5x^2$
Определяю функции $a_1(x)=x^2-1$, $a_2(x)=x$, $b_1(t)=t$, $b_2(t)=t^2+t$, $f(x)=4-9x-5x^2$, $\lambda=15$
Решая интегралы, нахожу коэффициенты:
$\alpha_{11}=\int_{-1}^1 b_1(t)\cdot a_1(t) dt=\int_{-1}^1 t\cdot (t^2-1)dt=0 $
$\alpha_{12}=\int_{-1}^1 b_1(t)\cdot a_2(t) dt=\int_{-1}^1 t^2dt=\frac23$
$\alpha_{21}=\int_{-1}^1 b_2(t)\cdot a_1(t) dt=\int_{-1}^1 (t^2+t)\cdot (t^2-1) dt=\frac{-4}{15}$
$\alpha_{22}=\int_{-1}^1 b_2(t)\cdot a_2(t) dt=\int_{-1}^1 (t^2+t)\cdot t dt= \frac23$
$\beta_{1}=\int_{-1}^1 b_1(t)\cdot f(t)dt=\int_{-1}^1 t\cdot (4-9t-5t^2)\dt=-6$
$\beta_{2}=\int_{-1}^1 b_2(t)\cdot f(t)dt=\int_{-1}^1 (t^2+t)\cdot (4-9t-5t^2)\dt=\frac{-16}{3}$;
Ответ записывается в виде:
$\varphi(x)=\lambda\cdot(C_1\cdot a_1(x)+C_2\cdot a_2(x))+f(x)$
Составляю систему и нахожу $C_1$ и $C_2$:
$C_1\cdot(1-\lambda\cdot \alpha_{11})-C_2\cdot\lambda\cdot\alpha_{12}=\beta_1$
$-C_1\cdot\lambda\cdot\alpha_{21}+C_2\cdot\(1-\lambda\cdot\alpha_{22})=\beta_2$

$C_{1}-15\cdot\frac23C_{2}=-6$
$-15\cdot\frac{-4}{15}C_{1}+(1-15\cdot\frac23)C_{2}=\frac{-16}{3}$
Решая систему, нахожу константы $C_{1}$ и $C_{2}$:
$C_1=\frac{2}{93}$, $C_2=\frac{56}{93}$
Записываю ответ:
$\varphi(x)=\frac{10}{31}(x^2-1)+\frac{280}{31}x+4-9x-5x^2$
Проблема в том, что ответ выходит такой, а он должен быть "нормальным"-коэффициенты при $x$-сах должны быть целыми числами.
2) Решить данное уравнение методом последовательных приближений
$\varphi(x)=2-x+\int_{0}^x \varphi(t)\, dt$
Для этого я нахожу несколько первых приближений:
$\varphi_0=f(x)=2-x$
$\varphi_1=\int_{0}^x \varphi_0(t)dt+f(x)=2+x-\frac{x^2}{2}$
$\varphi_2=\int_{0}^x \varphi_1(t)dt+f(x)=2+x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}$
Решая это уравнение сведением к дифференциальному, можно получить функцию $\varphi(x)=e^x+1$. Но в данном методе у старшего члена всегда отрицательный коэффициент, мешающий ряд $ (1+x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}.....)$ привести к ряду экспоненты, у которого все коэффициенты положительные.
Что я делаю неправильно в обоих случаях?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Фредгольма и Вольтерра
Сообщение22.05.2016, 14:17 


20/03/14
12041
Вам никто не сможет помочь до тех пор, пока Вы
- не расшифруете все свои обозначения,
- не сформулируете внятно постановку задачи и что Вы вообще решаете.

Стартовый пост требует радикальной правки, до ее внесения тема уходит в Карантин.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение22.05.2016, 14:17 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

См. выше.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение22.05.2016, 19:51 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Фредгольма и Вольтерра
Сообщение23.05.2016, 17:13 
Заслуженный участник


03/01/09
1701
москва
Для уравнения 2) найдите приближение $\varphi _3$ , после этого все должно быть понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Фредгольма и Вольтерра
Сообщение23.05.2016, 21:51 


22/05/16
7
mihiv в сообщении #1125416 писал(а):
Для уравнения 2) найдите приближение $\varphi _3$ , после этого все должно быть понятно.

Благодарю за подсказку, но как я понял можно было взять за первое приближение $\varphi_0=2$. Тогда не будет этой проблемы с минусом

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Фредгольма и Вольтерра
Сообщение25.05.2016, 18:07 


22/05/16
7
Решение первого уравнения правильное (в условии допущена ошибка, поэтому такие коэффициенты и выходят), так что тему можно закрывать)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group