Морфизмы в 0 в категориях

[arseniiv]

Известно, что есть категории, в которых $0\cong1$, так что там из интересного есть не только морфизмы из 1, но и морфизмы в 0. Верно ли, что если в категории нет терминальных объектов, или есть, но отличные от инициальных, в ней нет морфизмов в 0? И если да, как это доказать? Куда-то не туда смотрю.

[Xaositect]

А что Вы тут обозначаете $0$ и $1$? Я как-то привык, что $1$ - это терминальный объект, а $0$ - это нулевой (т.е. начальный и терминальный одновременно).

[arseniiv]

Под 0 я имел в виду только начальный. А как он обычно обозначается? Под 1 терминальный, да.

-- Пн май 23, 2016 02:05:27 --

(На самом деле я решил без аккуратного вчитывания в книгу по категориям попытаться определить, как часто бывают в категориях «коэлементы» (если элемент — это морфизм из 1) и что они могут значить. По идее, через некоторое время вопрос должен решиться сам собой.)

[Xaositect]

Я как-то привык к $\varnothing$, но вот посмотрел книги в своей папке по категориям, там поровну $0$ и $\varnothing$.

arseniiv в сообщении #1125275 писал(а):

Верно ли, что если в категории нет терминальных объектов, или есть, но отличные от инициальных, в ней нет морфизмов в 0?

Ну как минимум, есть $\operatorname{id}_0$ и изоморфизмы между начальными объектами. Но даже если не брать их в расчет, то морфизмы могут быть. Например, в категории колец $0$ - это $\mathbb{Z}$, а $1$ - это нулевое кольцо $\mathbf{0}$, и есть нетривиальные морфизмы в $\mathbb{Z}$, например, куча морфизмов $\mathbb{Z}[x]\to\mathbb{Z}$.

[arseniiv]

О, интересно! Значит, не зря у меня ничего не вышло с доказательством. Спасибо.

(Да, я как-то забыл сказать, что изоморфизмы рассматривать не надо.)

[Xaositect]

Ну собственно, все логично, раз в каких-то категориях есть элементы, то в противоположных могут быть коэлементы. Но что-то похожее на Ваше утверждение все-таки верно: докажите, что если у какого-то объекта есть и элементы, и коэлементы, то $0 \cong 1$. Еще постройте категорию без нулевого объекта, в которой есть и объекты с элементами, и объекты с коэлементами :)

[arseniiv]

Спасибо, проверю свои отношения с категориями.

Xaositect в сообщении #1125298 писал(а):

Ну собственно, все логично, раз в каких-то категориях есть элементы, то в противоположных могут быть коэлементы.

Чёрт, про противоположные забыл.

-- Пн май 23, 2016 03:14:18 --

Ну, первое легко. Пусть $a\colon1\to A$, $b\colon A\to0$. Тогда $c := b\circ a\colon1\to0$. Скомпозируем единственный морфизм $!\colon0\to1$ с $c$ и получим либо единственный морфизм $0\to0$, являющийся $\mathrm{id}_0$, либо единственный же $1\to1$, равный $\mathrm{id}_1$. То есть $c$ и $!$ — изоморфизмы, $0\cong1$.

Xaositect в сообщении #1125298 писал(а):

Еще постройте категорию без нулевого объекта, в которой есть и объекты с элементами, и объекты с коэлементами

…не изоморфную категории колец, которую вы упомянули. Пока ничего простого не пришло. Например, категория путей в графе такой быть не может: либо вершина — сток/исток, и в категории путей будет 1/0, либо в неё входят/исходят из неё рёбра, и, если из неё достижимы все вершины графа, тогда она содержится в каком-то цикле, и единственности пути портится. Пичаль.

[arseniiv]

Кажется, придумалась. Возьмём категорию, состоящую только из инициальных и терминальных объектов. Тогда любой единственный изоморфизм инициальных — коэлемент, равно как любой изоморфизм терминальных — элемент. Но это скучно.

[Xaositect]

Да, я имел в виду нетривиальные.

[arseniiv]

Я вчера подумал добавить между ними два объекта $A, B$ с каким-то количеством морфизмов $A\to B$, но не в обратную сторону (притом есть $A\to0$ и $1\to B$ и нет $1\to A$ и $B\to0$), но не определился в деталях, так что, может быть, это даже не работает.

[Xaositect]

Да, и вообще можно так "склеить" любые две категории, в одной из которых есть терминальный объект и элементы в объектах, а в другой - все наоборот.

Но у меня вчера придумался более-менее естественный пример: категория множеств с двумя выделенными элементами и отображений, которые эти элементы переводят друг в друга. В этой категории начальный объект - это двухэлементное множество с двумя выделенными точками, а терминальный - это одноэлементное множество (в котором выделенные элементы, естественно, совпадают).

[Munin]

А что такое элементы?

[Xaositect]

Если $1$ - терминальный объект, то морфизмы $1\to A$ называются глобальными элементами или точками объекта $A$. Мы тут про них говорили.

Если $X$ - произвольный объект, то морфизмы $X\to A$ называются обобщенными элементами или точками $A$ со значениями в $X$.

[Munin]

О как интересно. Интересно, что есть элементы в категории групп или векторных пространств.

[Xaositect]

В группах, кажется, ничего особо интересного. В категории векторных пространств над полем $F$ обобщенные элементы $F \to A$ - это векторы.