Доказать что произведение регулярных пространств - регулярно

[ikozyrev]

И снова здравствуйте! :)
Продолжаю изучать учебник Александрова "Введение в теорию множеств и общую топологию".
На странице 168 вижу фразу: "Легко доказывается что произведение регулярных пространств - регулярно".
Ну раз легко, решил попробовать.
Итак, регулярным называется $T_1$ пространство $X: \forall x\in X$, и любого замкнутого множества $M\ \subset X, x\not \in M, \exists O_x, O_m: O_x\cap O_m = \Lambda$.

Пусть даны $T_1$ пространства $X,Y$ и их произведение $S=X \times Y$, на котором введена открытая топология в виде всех множеств, являющихся произведениями открытых подмножеств $X$ и $Y$, и их всевозможных объединений.
Докажем что $S$ - хаусдорфово. Пусть даны две различные точки $\{x_1,y_1\}\in S, \{x_2,y_2\}\in S$, и для определенности $x_1\ne x_2$ тогда, по определению хаусдорфова пространства, $\exists {O_x__1} \subset X, {O_x__2} \subset X: {O_x__1} \cap {O_x__2} = \Lambda$. Но тогда ${O_x__1}, {O_x__2}$ - проекции некоторых дизъюнктных окрестностей ${O_{{x__1}{y__1}}}$, ${O_{x__2}{y__2}}$ $ \subset S$, что и требовалось доказать.

Теперь пробую доказать что $S$ - регулярно.
Возьмем любую точку и замкнутое множество $M$, $\{x_1,y_1\}\in S, M\subset S, \{x_1,y_1\}\not \in M$, тогда $\exists {O_x__1} \subset X$, но для замкнутого множества $M$, вообще говоря, может и не существовать замкнутой проекции $M$ в $X$. Вот тут и затык. Как мне воспользоваться фактом регулярности $X$?

[iifat]

ikozyrev в сообщении #1125117 писал(а):

$M\in X$

Как понимаю, $X\not\in M$. Ну и вообще, неплохо, по-моему, было бы поправить множество мелких «орфографических» ошибок — кто кому принадлежит, кто чего является подмножеством. Оно, конечно, задача не станет ясной и понятной, но как-то покрасивше смотреться будет.

[ikozyrev]

iifat в сообщении #1125124 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1125117 писал(а):

$M\in X$

Как понимаю, $X\not\in M$

Да, конечно, $x \not\in M$

[iifat]

ikozyrev в сообщении #1125117 писал(а):

для замкнутого множетсва $M$, вообще говоря может и не существовать замкнутой проекции $M$ в $X$

То бишь, замыканием области произведения не будет произведение замыканий? Как-то навскидку кажется, что будет, хотя предметную область знаю очень приблизительно.

[DeBill]

ikozyrev в сообщении #1125117 писал(а):

топология в виде всех множеств, являющихся произведениями открытых подмножеств $X$ и $Y$.

Неправда ваша: надо добавить ", и их всевозможных объединений"
Стало лучше, верно?

[ikozyrev]

iifat в сообщении #1125124 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1125117 писал(а):

$M\in X$

Как понимаю, $X\not\in M$. Ну и вообще, неплохо, по-моему, было бы поправить множество мелких «орфографических» ошибок — кто кому принадлежит, кто чего является подмножеством. Оно, конечно, задача не станет ясной и понятной, но как-то покрасивше смотреться будет.

Спасибо, поправил что заметил.

-- 22.05.2016, 15:55 --

DeBill в сообщении #1125134 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1125117 писал(а):

топология в виде всех множеств, являющихся произведениями открытых подмножеств $X$ и $Y$.

Неправда ваша: надо добавить ", и их всевозможных объединений"
Стало лучше, верно?

Угу. Поправил. Но на затык это не повлияло :)

-- 22.05.2016, 16:02 --

iifat в сообщении #1125131 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1125117 писал(а):

для замкнутого множетсва $M$, вообще говоря может и не существовать замкнутой проекции $M$ в $X$

То бишь, замыканием области произведения не будет произведение замыканий? Как-то навскидку кажется, что будет, хотя предметную область знаю очень приблизительно.

Я говорю про проекции - есть такой пример: в $\mathbb{R}^2$ множество $xy=1$ - замкнуто, однако его проекции на $X, Y$ - незамкнуты.

[DeBill]

ikozyrev
Ну, можно попробовать, типа, так.
1. Для данной точки $(x,y)$, не лежащей в $M$, найдите "хорошую" окрестность $U\times V$, не пересекающуюся с $M$.
2. Отделите окрестностями $U_1, Z$ точку $x$ от дополнения к $U$, окрестностями $V_1, W$ - точку $y$ от дополнения к $V$.
3. Попробуйте из полученных окрестностей организовать отделимость точки $(x,y)$ от $M$...

[ikozyrev]

DeBill в сообщении #1125141 писал(а):

ikozyrev
Ну, можно попробовать, типа, так.
1. Для данной точки $(x,y)$, не лежащей в $M$, найдите "хорошую" окрестность $U\times V$, не пересекающуюся с $M$.
2. Отделите окрестностями $U_1, Z$ точку $x$ от дополнения к $U$, окрестностями $V_1, W$ - точку $y$ от дополнения к $V$.
3. Попробуйте из полученных окрестностей организовать отделимость точки $(x,y)$ от $M$...

Спасибо, уже начал думать и сам в этом направлении.

Пусть $U\times V=S\setminus M$, тогда $U\times V$ - открытое множество, а значит и окрестность точки $(x,y)$.
Соотвественно, проекция $U\times V$ на $X$ - открытое множество, содержащее $x$, а значит и ее окрестность. Тогда ${Pr_x}M = X\setminus U$ - замкнутое множетсво, у которого есть неперсекающаяся окрестность с $O_x$. Тогда в $S$ существует непересекающаяся с ${O_{(x,y)}}$ oкрестность с $M$, что и требовалось доказать.

[DeBill]

ikozyrev
Ой-ой-ой!

ikozyrev в сообщении #1125163 писал(а):

Пусть $U\times V=S\setminus M$,

Почему - так??? Откуда это взялось?
Нарисуйте для себя катринку: оба исходных пр-ва - прямые, их произведение - плоскость, топология - обычная, и отслеживайте свои рассуждения на ней. (Например, точка - начало координат, $M $ - прямая $x+y=1$).
Все Ваши рассуждения - поломаются.

Еще: замкнуто - означает, что дополнение - открыто...Помните, что такое есть Ваша топология прямого произведения.
Будьте аккуратны, и действуйте в строгом соответствии с определениями (картинка лишь должна подсказывать, куда идти, а куда - не надо, и ничего боле).

-- 22.05.2016, 18:05 --

Но, впрочем, для одного очень частного случая отделимость у Вас получилась, да.

[ikozyrev]

DeBill в сообщении #1125176 писал(а):

ikozyrev
Ой-ой-ой!

ikozyrev в сообщении #1125163 писал(а):

Пусть $U\times V=S\setminus M$,

Почему - так??? Откуда это взялось?
Нарисуйте для себя катринку: оба исходных пр-ва - прямые, их произведение - плоскость, топология - обычная, и отслеживайте свои рассуждения на ней. (Например, точка - начало координат, $M $ - прямая $x+y=1$).
Все Ваши рассуждения - поломаются.

Еще: замкнуто - означает, что дополнение - открыто...Помните, что такое есть Ваша топология прямого произведения.
Будьте аккуратны, и действуйте в строгом соответствии с определениями (картинка лишь должна подсказывать, куда идти, а куда - не надо, и ничего боле).

-- 22.05.2016, 18:05 --

Но, впрочем, для одного очень частного случая отделимость у Вас получилась, да.

Да, уже вижу ошибку у себя. Буду думать еще как эту окрестность определить...

[ikozyrev]

DeBill в сообщении #1125141 писал(а):

ikozyrev
Ну, можно попробовать, типа, так.
1. Для данной точки $(x,y)$, не лежащей в $M$, найдите "хорошую" окрестность $U\times V$, не пересекающуюся с $M$.
2. Отделите окрестностями $U_1, Z$ точку $x$ от дополнения к $U$, окрестностями $V_1, W$ - точку $y$ от дополнения к $V$.
3. Попробуйте из полученных окрестностей организовать отделимость точки $(x,y)$ от $M$...

Тогда так:

Для любой точки $(x,y)$, не лежащей в $M$, $\exists O_{x,y}$ не пересекающаяся с $M$ ,так как $M$ - замкнуто. Соотвественно, проекция этой окрестности на $X$ будет также окрестностью точки $x$. Обозначим ее $U$. Дополнением этой окрестности будет замкнутое множество $X\setminus U$, а значит $\exists U_1$ - окрестность точки X, непересекающаяся с окрестностью $Z=O_{X\setminus U}$. Соответсвенно, прообразами $U_1$ и $Z$ являются некие непересекающиеся окрестности $S_{U__1}$ точки $(x,y)$ и $S_z$ множества $M$ что и требовалось. Так?

[DeBill]

ikozyrev в сообщении #1125213 писал(а):

Так?

Нет.

ikozyrev в сообщении #1125213 писал(а):

прообразами $U_1$ и $Z$ являются некие непересекающиеся окрестности $S_{U__1}$ точки $(x,y)$ и $S_z$ множества $M$

Непересекающимися они будут, да. Но почему вторая - окрестность $M$? И картинку то Вы не нарисовали: на ней видно, что это не верно.

ikozyrev в сообщении #1125213 писал(а):

проекция этой окрестности на $X$ будет также окрестностью

Почему проекция окрестности - окрестность? В этом месте лучше делать наоборот: у точки есть окрестность, не пересекающаяся с $M$. Эта окрестность состоит из окрестностей-призведений. Одна из них содержит нашу точку...
Итак, первый шаг моего плана мы прошли. Что дальше?

[ikozyrev]

DeBill в сообщении #1125220 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1125213 писал(а):

Так?

Нет.

ikozyrev в сообщении #1125213 писал(а):

прообразами $U_1$ и $Z$ являются некие непересекающиеся окрестности $S_{U__1}$ точки $(x,y)$ и $S_z$ множества $M$

Непересекающимися они будут, да. Но почему вторая - окрестность $M$? И картинку то Вы не нарисовали: на ней видно, что это не верно.

ikozyrev в сообщении #1125213 писал(а):

проекция этой окрестности на $X$ будет также окрестностью

Почему проекция окрестности - окрестность? В этом месте лучше делать наоборот: у точки есть окрестность, не пересекающаяся с $M$. Эта окрестность состоит из окрестностей-призведений. Одна из них содержит нашу точку...
Итак, первый шаг моего плана мы прошли. Что дальше?

Нашел эквивалентное определение регулярного пространства - для $\forall x\in X, \exists O_x, V\subset O_x: x\in V \subset [V] \subset Ox$.
Тогда все становится действительно просто - в $U$ существует $U_1$ для которого $ x\in U_1 \subset [U_1] \subset U$. Тоже самое и для точки $y$. Тогда $U_1\times V_1$, $[U_1]\times [V_1]$, $U\times V$ - искомые окрестности, для которых $ (x,y) \in U_1\times V_1 \subset [U_1]\times [V_1] \subset U\times V$.

[DeBill]

ikozyrev
О, ну да. Такая переформулировка легко получается из исходного определения: надо просто слова "замкнутое " переписать через дополнения.
Ваша новое док-во - хорошО. Единственное, что хорошо бы пояснить: почему замыкание прямого произведения есть прямое произведение замыканий (т.е., не совсем тривиальность док-ва исходного утверждения спряталась теперь сюда...)

[ikozyrev]

DeBill в сообщении #1125342 писал(а):

ikozyrev
О, ну да. Такая переформулировка легко получается из исходного определения: надо просто слова "замкнутое " переписать через дополнения.
Ваша новое док-во - хорошО. Единственное, что хорошо бы пояснить: почему замыкание прямого произведения есть прямое произведение замыканий (т.е., не совсем тривиальность док-ва исходного утверждения спряталась теперь сюда...)

Любая точка прикосновения прямого произведения замыканий имеет окрестность пересекающуюся с этим произведением, а следовательно каждое замыкание имеет пересечение с окрстностью - сомножителем, то есть эта точка входит в замыкание.