2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Странно себя ведущий многочлен
Сообщение21.05.2016, 15:39 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Существует ли многочлен от одной переменной, равный $x$ при $x=1, 2, \dots , 2016$ и принимающий иррациональные значения при остальных целых значениях аргумента?
(источник задачи: http://olympiads.mccme.ru/matboi/21111999.htm , вариант БС, задача №3)

Я попробую придумать такой многочлен, и если что вы мне поможете, да?

Может, вот такой подойдёт?

$P(x)=\pi (x-1)(x-2)\dots (x-2016)+x$

Ведь при $x=1, 2, \dots , 2016$ он будет равен $x$, поскольку всё остальное обнуляется, а при остальных целых значениях аргумента, наш многочлен будет равен $k\pi+x$, где $k$ - некоторое целое ненулевое число (а раз ненулевое, значит, на него всегда можно разделить, что мы вот-вот и проделаем).
Если $k\pi+x$ было бы рациональным, то было бы рациональным и $k\pi$, так как $x$ - целое.
Но тогда было бы рациональным и само $\pi$ (вот мы и поделили), а так не бывает даже в сказках (хотя, смотря каких).

Так значит $P(x)=\pi (x-1)(x-2)\dots (x-2016)+x$ подходит?
Или это не многочлен?

Пожалуйста, помогите решить.
Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Странно себя ведущий многочлен
Сообщение21.05.2016, 15:53 


04/05/14
18
Ktina
это многочлен конечно же

 Профиль  
                  
 
 Re: Странно себя ведущий многочлен
Сообщение21.05.2016, 15:57 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Nail1992
А он подходит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Странно себя ведущий многочлен
Сообщение21.05.2016, 16:00 


04/05/14
18
Ktina
да

 Профиль  
                  
 
 Re: Странно себя ведущий многочлен
Сообщение21.05.2016, 16:04 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Nail1992
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group