Замена последовательности на асимптотически эквивалентную

[kp9r4d]

Пусть $x_n$ - некоторая последовательность положительных чисел. А последовательность $y_n$ строится по следующему правилу

$$y_0 = 1$$

$$y_{n+1} = \sum_{k=0}^\infty x_k y_n^{2k}$$

пусть все $x_n$ корректно определены и $y_n$ сходится. И пусть $x'_n$ такова, что $\lim_{n \to \infty} x_n/x'_n = 1$. Обязана ли сходится последовательность $y'_n$ определённая по следующему правилу

$$y'_0 = 1$$

$$y'_{n+1} = \sum_{k=0}^\infty x'_k y'_n^{2k}$$

?

[DeBill]

kp9r4d
Пусть $f(t) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} x_k \cdot t^{2k}$. Тогда условия задачи означают $y_{n+1} = f(y_n)$ , и сходимость к неподвижной точке $f(a) = a$. Ясно, что, изменив первые нескоко членов ряда, можно уничтожить неподвижную точку (или лишить ее устойчивости....).
Пример $f(t) = \frac{1}{2}\cdot 2^{t^2} =\frac{1}{2} e^{t^2 \cdot \ln(2)}$, $f(1)=1$. Однако, заменив $x_0 = \frac{1}{2}$ на $x_0 + \operatorname{const}$ так, что новая функция была везде выше прямой $y=t$, убъем неподвижную точку, и получим расходимость последовательности...

[kp9r4d]

DeBill
Здравое рассуждение, спасибо.